《通信》课件信道编码(二)
23页1、信道编码(二)线性分组码G主要讲授内容n线性分组码的定义n线性n监督矩阵n生成矩阵n线性分组码的性质n线性性封闭性n最小码距等于非零许用码组的最小码重n线性分组码的构造n线性子空间构造n汉明式构造n线性分组码的译码n最大似然译码n代数译码线性分组码定义n(n,k)线性分组码定义n从k维空间到n维空间的一一映射的映射空间,并且这种映射满足线性性。F:ICK维信息空间:IN维码空间:C线性性n若k维空间中的信息码字A,B,其映射结果为F(A)、F(B),满足nF(cA+dB)=c*F(A)+d*F(B)则称F为线性映射。nF的值空间就构成线性分组码的码空间。n(n,k)码的一些基本数字关系n信息空间大小:2k 种信息码字 I(k-1),I(k-2),I(0)n码空间大小:2k种许用码字 a(n-1),a(n-2),a(0)n提示:经过(n,k)编码后,空间发生扩展编码中如何描述线性性n(n,k)线性分组码的另一种定义n定义:满足HA0的所有A的集合C称为(n,k)线性分组码,其中H是一个nk行n列的二元域上的矩阵,称为监督矩阵(校验矩阵)。n解释HA0定义了一种线性映射,且是一一对应的。若
2、A,B满足定义,则易知:H(cA+dB)=0,即cA+dB也属于C。n例(n,k)码的监督矩阵n满足HA0的所有许用码组A可以解如下方程得:方程的解n3个方程,7个未知数,只能得到4个自由度(4个信息比特)生成矩阵n信息码字U生成矩阵生成矩阵G(7,4)码的许用码组n由于 I 是4维空间中的一个码字,其取值可能性为16种,将16个码字分别乘以生成矩阵G,则得到(7,4)码的所有许用码组。(0000000)(0001011)(0010101)(0011110)(0100110)(0101101)(0110011)(0111000)(1000111)(1001100)(1010010)(1011001)(1100001)(1101010)(1110100)(1111111)小结n线性(n,k)码的关键参数nH:监督矩阵nG:生成矩阵n二者知一即可知关于(n,k)的所有信息。n引申内容n(n,k)码的所有码字构成n维空间中的k维线性子空间n(n,k)的生成矩阵的k行即是n维空间的k个基n以n维空间的另外nk个基构成的生成矩阵所生成的线性分组码(n,nk)称为(n,k)码的对偶码。线性分组码的
3、性质n封闭性n推论:最小码距等于最小码重(全零码除外)n线性性n推论:任意码字的线性和还是许用码字(n,k)码的构造n方法n1、已知H或G,直接得到(n,k)线性分组码。n2、找出n维空间的n个基,任意选择k个作为(n,k)码的生成矩阵G。(如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距?)n3、n维空间中任意挑选2k个码字作为(n,k)码的需用码组,并与2k个信息码字构成一一映射。(注:此时不能保证构造出的(n,k)码是线性码)n4、其它如:汉明码、循环码、BCH码等代数构造方法(n,k)汉明码n汉明码是一种特殊的线性分组码,满足关系n2(n-k)-1=nn只能纠一个错n最小码距为3n汉明码的构造思路n由于有n-k个监督比特(冗余信息),因此可以组成2(n-k)个图样,每个图样对应信道传输的一种传输结果。n当码字A经过信道传输后,接收到的码字为RAEnE称为信道错误图样当信道只发生一个错误时,E的图样为(10000)(01000)(00001),共n种发生1个比特传输错误的情况。n使信道的错误图样与nk个比特组成的情况一一对应,再加上无误传输的情况,则能纠正一个错误比特的最少监督位应满足
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