2020年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含答案
7页1、202020年全国高中数学联赛福建赛区预赛一、填空题(每小题6 分,共 6 0 分)L 已知复数Z满足lz-ll=z-i.若为正实数,则_z-1 2已知f(x)=3cos(jx-cp)(a)09(pn).若4 穿)=,7(1|)=3,且)的 最 小正周期大于2 则 p=_.3.已知x 表示不超过实数;c 的最大整 数,集合A=xx2-a:-6 0,6 0)a 的左、右焦点,过 F2 的 直 线 Z与 双 曲 线 C 的 右支交于4、5两 点,且A fr JF2=0,FB+2FA=0.则双曲线C 的离心率为_.6.在 以 凸 18边形的顶点为顶点构成的三角形中,任取一个三角形,则所取的三角形 与 该 18边形无公共边的概率为_.7.如 图 1,在 正 方 体 ABCZ)中,点 、F、C 分别在棱A4,、次上,为 A4,的中点,D,F DX G 1=y 记 平 面 EFC 与 平 面 次 fi,a)的交线 为 m.则 直 线 m 与平 面 所 成 角 的 正切值为_8.已 知a、6、C、d 为正数,且 a+206=c+20rf=2.则 的 最 小 值 为_a bed9.已 知 实 数 m
2、满 足 当 关 于 x 的实系数 一元二次方程a2+h +c=0 有实根时,(a-6)2 +(6-c)2+(c-a)2 多 ma2总成立.则m 的最大值为_.10.设 正 整 数 为 合 数,/(n)为;1 的最小的三个正约数之和,g(n)为 n 的最大的两 个 正 约 数 之 和 若 n)=/(n),则 n 的所有 可能值为_二、解答题(每 小 题 2 0 分,共 100分)11.已知数列U!满 足:a,=1,a2=5,n+2=4n+i -3a(n G Z+).(1)求 数 列 的 通 项 公 式;(2)设是数列丨6丨的前a na n+l项的和,证明12.已知楠圆+4 =1 (a 6 0)的a b GC,c21离心率为f右 焦 点 F 到 直 线 巧+2=_距 离 为 2 在,4、也 分 别 为 椭 圆 C 的左、右 顶点.(1)求 椭 圆(:的方程.(2)过 点 F 的 直 线 与 橢 圆 C 交于 两点(点 4 在 x 轴上方),r 为直线的交点.当点r 的纵坐标为6 V5时,求 直 线 Z 的方程.13.如 图 2,在A 仙 C 中,C 的内切圆/与 边 BC、C4 分别切于点
3、、,联结W 并延长,与A 46C 的外接圆 0 交于 点/V,联 结 A、W 并延长,分别与 交于 点 G、M,联 结 GE并延长,与 0 交于点M图 2证明:(1)/(/;(2)MF/AC.14.已知/(尤)=(%2 +(a-1)%+1)e 若/(4 +#0 恒成立,求实数的取值范围.15.将 一 个 2 020 x 2 020方格表的每个 格染黑、白两种颜色之一,满足以下条件:方 格 表 中 的 任 意 一 个 格 它 所 在 的 行 与 列 的 所有格中,与 4 异色的格多于与4 同色的格.证 明:染色后,方格表中每行、每列两种颜色 的格一样多.:(%-1)+5(x-l)(x-l)2+x25 x(x-iy+%由 为 正 实 数 知z-1)+/5(-!)20且(x-l)+X 5x(x-l)2 +x2 解 得 X=2.因此,z=2+2 i.IIt u:0.2.12*,5t u由 y(f)=,l l 7 t=3,得5tT,7T+(p=/c 7 T+y,11丌 co+cp=Z m K 9 其中,A:、/n 6 Z.两式相减得3kV:2mK kiz-4T C _24 =y(2m-&一y j
4、(m、A:6 Z).又/U)的最小正周期大于2tt,得 2t c=0 1.(O则 0 争(2m-A:-1-2m-k-参 考 答 案、1.2+2 i.由题意,知 Z 的实部与虚部相等.设 z=%+1 i(x G R)贝!Jz-l z 1由 m、A:6 Z,得 2m-A:=1.2从而,0=j 将 如=|代 入 式 得p=2 m nll7t12(m G Z).22结合 l f l ;:=1.经检验4 =1 不符合要求4 =-1 符合 要求.当*=时,若 X 6 则0 5=0 尤=,尤=,均不符合要求.当*=1 时,若*6 贝!J 2jc2 -3-5=0=尤=2,均不符合要求.当 =2 时,若a:6 5,则2d-6-5=0=土 譬经检验4 f符合要求,*=-f不 符合要求.故故 d n f i =-i,手,手 由图像,知当r-4a+1 丄 从?则=AF,I2+AF22 AFX I2+AB2图 4-FxF2 F,B2(2a+t)2 +t2 =(2c)2,(2a+t)2 +(3t)2 =(2a+2t)22/17=a,c=-ae=91y iy6.1364.1-In 2 1如 图 3,分 别 作 出
5、函 数 y=/(;与 y=-M +l 的图像,其中,_ P(,l),C(士,).以 凸 18边形的顶点为顶点的三角形个 数 为 Cf8.对 于 凸 18边形的任意一个顶点皋要取 与 凸 18边形无公共边的三角形的一个顶点,则三角形的另两个顶点fi、C 不 能 为 顶 点 4 在 凸 18边形中的两条边的另两个顶点,只是 其 他 15个顶点中的不相邻的两个顶点,共有 Ch-14种不同的选取方法.故与原凸18边形无公共边的三角形个数为士 x 18(以-14).2021年第2 期23因此,所求的概率为|-xl8(C-14)Cl87 3 8 I.如 图 5,设 名 与 的 交 点 为 P.延 长 CF、交于 点(?,则 为 平 面 与平面的交线,设 其 为 m.不妨设正方体 棱长为3,则由136 A B图 5则 士+i4+f 4(士+f卜邊)4 卜 f+2f)2401+220b 20a、a441当且仅当c=20d且即,2a21,c=,d20时,上式等号成立.D,FDG=AX Q=AX F=2.作 p/丄岑a于点丑,则 Pff丄平面Af t A.联 结?/,则Z P x6故=0 4 卜 皂 tf
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