2020年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含答案

202020年全国高中数学联赛福建赛区预赛一、填空题（每小题6 分，共 6 0 分）L 已知复数Z满足lz-ll=z-i.若为正实数，则_z-1 2已知f(x)=3cos(jx-cp)(a)09(pn).若4 穿)=,7(1|)=3，且)的 最 小正周期大于2 则 p=_.3.已知x 表示不超过实数;c 的最大整 数，集合A=xx2-a:-6 0,6 0)a 的左、右焦点，过 F2 的 直 线 Z与 双 曲 线 C 的 右支交于4、5两 点，且A fr JF2=0,FB+2FA=0.则双曲线C 的离心率为_.6.在 以 凸 18边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形 与 该 18边形无公共边的概率为_.7.如 图 1，在 正 方 体 ABCZ)中，点 、F、C 分别在棱A4,、次上，为 A4,的中点，D,F DX G 1=y 记 平 面 EFC 与 平 面 次 fi,a)的交线 为 m.则 直 线 m 与平 面 所 成 角 的 正切值为_8.已 知a、6、C、d 为正数，且 a+206=c+20rf=2.则 的 最 小 值 为_a bed9.已 知 实 数 m 满 足 当 关 于 x 的实系数 一元二次方程a2+h +c=0 有实根时，(a-6)2 +(6-c)2+(c-a)2 多 ma2总成立.则m 的最大值为_.10.设 正 整 数 为 合 数，/(n)为；1 的最小的三个正约数之和，g(n)为 n 的最大的两 个 正 约 数 之 和 若 n)=/(n)，则 n 的所有 可能值为_二、解答题（每 小 题 2 0 分，共 100分）11.已知数列U!满 足：a,=1,a2=5,n+2=4n+i -3a(n G Z+).(1)求 数 列 的 通 项 公 式；(2)设是数列丨6丨的前a na n+l项的和，证明12.已知楠圆+4 =1 (a 6 0)的a b GC,c21离心率为f右 焦 点 F 到 直 线 巧+2=_距 离 为 2 在，4、也 分 别 为 椭 圆 C 的左、右 顶点.(1)求 椭 圆（：的方程.(2)过 点 F 的 直 线 与 橢 圆 C 交于 两点（点 4 在 x 轴上方），r 为直线的交点.当点r 的纵坐标为6 V5时，求 直 线 Z 的方程.13.如 图 2,在A 仙 C 中，C 的内切圆/与 边 BC、C4 分别切于点、，联结W 并延长，与A 46C 的外接圆 0 交于 点/V，联 结 A、W 并延长，分别与 交于 点 G、M，联 结 GE并延长，与 0 交于点M图 2证明：（1)/(/;(2)MF/AC.14.已知/(尤）=(%2 +(a-1)%+1)e 若/(4 +#0 恒成立，求实数的取值范围.15.将 一 个 2 020 x 2 020方格表的每个 格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件:方 格 表 中 的 任 意 一 个 格 它 所 在 的 行 与 列 的 所有格中，与 4 异色的格多于与4 同色的格.证 明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色 的格一样多.:(%-1)+5(x-l)(x-l)2+x25 x(x-iy+%由 为 正 实 数 知z-1)+/5(-!)20且(x-l)+X 5x(x-l)2 +x2 解 得 X=2.因此，z=2+2 i.IIt u：0.2.12*，5t u由 y(f)=,l l 7 t=3,得5tT,7T+(p=/c 7 T+y,11丌 co+cp=Z m K 9 其中，A:、/n 6 Z.两式相减得3kV:2mK kiz-4T C _24 =y(2m-&一y j(m、A:6 Z).又/U)的最小正周期大于2tt，得 2t c=0 1.(O则 0 争(2m-A：-1-2m-k-参 考 答 案、1.2+2 i.由题意，知 Z 的实部与虚部相等.设 z=%+1 i(x G R)贝!Jz-l z 1由 m、A：6 Z，得 2m-A：=1.2从而，0=j 将 如=|代 入 式 得p=2 m nll7t12(m G Z).22结合 l f l ；：=1.经检验4 =1 不符合要求4 =-1 符合 要求.当*=时，若 X 6 则0 5=0 尤=，尤=，均不符合要求.当*=1 时，若*6 贝!J 2jc2 -3-5=0=尤=2，均不符合要求.当 =2 时，若a:6 5，则2d-6-5=0=土 譬经检验4 f符合要求，*=-f不 符合要求.故故 d n f i =-i，手，手 由图像，知当r-4a+1 丄 从？则=AF,I2+AF22 AFX I2+AB2图 4-FxF2 F,B2(2a+t)2 +t2 =(2c)2,(2a+t)2 +(3t)2 =(2a+2t)22/17=a,c=-ae=91y iy6.1364.1-In 2 1如 图 3,分 别 作 出 函 数 y=/(；与 y=-M +l 的图像,其中，_ P(，l)，C(士，).以 凸 18边形的顶点为顶点的三角形个 数 为 Cf8.对 于 凸 18边形的任意一个顶点皋要取 与 凸 18边形无公共边的三角形的一个顶点，则三角形的另两个顶点fi、C 不 能 为 顶 点 4 在 凸 18边形中的两条边的另两个顶点，只是 其 他 15个顶点中的不相邻的两个顶点，共有 Ch-14种不同的选取方法.故与原凸18边形无公共边的三角形个数为士 x 18(以-14).2021年第2 期23因此，所求的概率为|-xl8(C-14)Cl87 3 8 I.如 图 5,设 名 与 的 交 点 为 P.延 长 CF、交于 点(?，则 为 平 面 与平面的交线，设 其 为 m.不妨设正方体 棱长为3,则由136 A B图 5则 士+i4+f 4(士+f卜邊)4 卜 f+2f)2401+220b 20a、a441当且仅当c=20d且即,2a21,c=,d20时，上式等号成立.D,FDG=AX Q=AX F=2.作 p/丄岑a于点丑，则 Pff丄平面Af t A.联 结?/，则Z P x6故=0 4 卜 皂 tf2=22+6故1 +士的最小值为f.设 =(a b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 其 a2中，a、6、c 为实数,a#0.当方程cw：2 +h +c=0有 实 根 时，设其 两 个 根 为、h.由韦达定理知b cXl+X2=-12=_ a a QH=h/l贝 丨j =(a _ 6)2+(fc_c)2 +(c_a)2 a2=tan 乙 PQH=PH 3y8 QH=5S由 平 面 4SCD/平面岑，知直线 P?与平面、平 面 AfiCZ)所成角相 等.从而，直 线 m 与平面/IZ?CZ)所成角的正切 a I a a/a/=(1+a：j+x2)2+(-*-x2 -xx x2)2 +(x-l)2=2(xj+A；,+l)(a：2+x2+0值为3758 58 3 3_T XT=58.441 Y当且仅当h =工 2=-，即 a=厶=4c#0 时，由条件知 上式等号成立.0 cd=*c*2 0 rf|c+2j Q 故的最小值为|.24中 等 数 学从而，m 的最大值为10.144.设正整数满足条件.显然，n 的最小、最大的正约数分别为1、ra.设 p 为 n 的最小素因子，则 n 的第二小、第二大的正约数分别为P对 于 n 的第三小的正约数，有以下两类情 况：(1)若第三小的正约数为/，则a n+2-a n+i =3(a n+i-a n).又 2=l(mod p),/3(n)=l(mod p),于是，g()#/3)，与条件不符.(2)若 第 三 小 的 正 约 数 是 某 一 素 数 g U P)，则f(n)=+p+q=l +p(mod q),f(n)=(+p)3(mod q).由pgln，知贫(ra)=n+为g 的倍数，有Pg(n)=(mod q).于是，（1+p)3=(mod 9).由 9 为素数，知 d(l +P).于是，p 0l+/?，符合条件的素数 只有p=2，g=3.此时，f(n)=6,g(n)=.3?.n=l H f,2x 3n_1-1=1=a1.从 而，对于一切正整数n，均有 an =2 x 3_1-1.(2)由（1)知,y=_r_(2 x 3n_1-l)(2x 3 -l)3|11 4 12 x 3n_1-12 x 3-1则 7；3,=bx+b2 +m i)+bn 4 1、1 2 x 3-l j丨+3/11、.4、2 x 3-l 2 x 3 2-l 厂3,(114 1k2 x 3n_1-12 x 3n -11-1)|A4 、2 x 3-l J 丨 4 12.(1)由右焦点/n=144.2经验证，n=144符合要求.故 n 的所有可能值为n=144.二、11.(1)由 a+2=4 a+1-3a，得lc-0 +21 Ji二2拉.结 合 c 0,得 c=2.又 椭 圆 的 离 心 率 为 于 是，a=2c=4,b=2 .为+2=02021年第2 期25故 椭 圆 c 的方 程 为 i.(2)如 图 6.易知，直 线 Z 的斜率 不为 ,设/:$=my+2.联立椭圆C 及直线Z 的方程得(3 m 2+4)y2 +2my-36=0.故方程的判别式 曰A 0,有两个不相等的实根.设 tUa，7丨），S(*2，y2)则-12m-36Xi+r23 m 2+4,jir23m2+4设 n，6$).由 岑 v4、r 三点共线得 6#_ o _ y!_/+4 x,+46 x x+4)=t+4Ji 6j3 m.立 Yi.由4、方、5三点共线得6$-一 y2 _t -4 x2 -4-6ix2-4)2、=t 4=-=6 V3 t t i Ji r2i联立以上两式消去f 得8=6 V 5 f +)=+=-=.ri y2/Ti y2 3 3则 i +丄=iZL M =iJi Ji JJt.33-12m.，;-+2y3m2+4/22 x-36+Ar 6 m-4 Vj故 y2=2.ri3#3 m 2 +4*18/71+4 y/33m+43m+4代 人 yiy2-363 m 2 +4得-4(3m-23)(9m-2j3)_-36(3m2+4)2 3m+4=m呈因此，直线/的方程为$V +2,即/3x+y-23=0.13.(1)如图 7,联结 fi/V J/j C.MF由/为A c 的内心知 Z NBI=Z NBC+Z CBI=z NAC+Z C B I =Z B A I +ABI=Z B I N N B=NI.又Z NGB=Z NAB=Z NAC=Z N B D，Z B N G =Z D N B,M A b g ca n d bN B=N D NI_=N D N G =N B N G =W 又 Z m G =Z D N l l A NIG A NDI.(2)联结 G4、GM.由（1),得Z N G I =Z N I D.由/为的内心=/V为 弧&的 中 点 =M/V 丄 BC.又/丄 fiC，则ID/MNZ N I D =Z A N M=Z A G M=Z N G I =Z A G MZ A G I =Z A G M+Z MGI=Z N G I +Z MGI=Z M G N26中 等 数 学=90。.结合Z/=90。得v 4、C、/、四点共圆=Z=Z 4/G=90。-Z G4/=90-Z GAN=90-Z GMN=z MNG=Z MFG=MF/AC.14.注意到，/(尤)=(2x+a-l)e*+(A t2+(a-1)jc+l)e*=x+)x+a)ex.设 g(a:)=;:2+(a-l)*+l.(1)若-1 专a 矣3,则方程 x+(a-l)ac+l=0的判别式为A=(a-1)2-4 矣0，此时，g(幻多恒成立，/()+e2=g(ac)e*+e2 多e2 0 恒成立.(2)若 a 3,则当;c 0;当-a c-1 时，/（：)0.故/(幻在区间（-0,f(x)+e2 0成立.当-a 时，/)的最小值为/(-1)=(3-a)e_1.由/)+e2多0 恒成立知(3-a)e_,+e2 0 a e3+3.从而，3 a 专e3+3.(3)若 a -1，