2021年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含答案
7页1、192021年全国高中数学联赛福建赛区预赛、填 空 题(每 小 题 6 分,共 6 0 分)1.若;r,=1,;j c2=1-i,3=1+i 为方程 x +ax +bx+c=0 的 三 个 解,贝!J a+厶一c=7.若 正 实 数x、y满 足x(x+2y)=9,则 的最大值为_8.已知离心率为f的双曲线厂:&-f=a 2.已知/=4+去.若/(a _2)/(2a+1)X X成 立,则a的取值范围是 3.如 图1,在 四 边 形AfiCZ)中,cos Z_ BAD4ABZ B A C=Z D A C,图1AD,则 三 棱 锥A-DM/V外 接 球 的 表 面 积为_5.已知/(%)、g U)是 两 个 二 次 项 系 数 均/(-I)g(_ 1)为 1 的 二 次 函 数.若g(6)=3 5,=贝 丨 丨 6)=.g(l)20 从M;-6.若 关 于 的 不 等 式-2)eT )的 左、右 焦 点 分 别 为f、F2,P为 双 曲 线 上 一 点,、r分 别 为 心 外 接 圆、内 切 圆 的 半 径.若Z=6 0 ,则f=9.若 5;r为 函 数/(;:)=cos ra:sin 可;
2、c 的n一 个 周 期,则 正 整 数n的 所 有 可 能 取 值 为10.若 整 数a 满 足:0 al0,0 6 1 0,0 cl0,10+b+c 2 0,则满足条件的有序数组(a,6,C)共有_组.二、解 答 题(每 小 题 2 0 分,共 100分)11.已 知 数 列|丨、|6丨满足:i=3 n+i=2a+2n+1 -1 ,(1)求数列丨 1的通项公式;(2)设c =,7;为数列U 丨的前n项 和,证 明:r2.12.已 知 椭 圆 厂+g =l(a 6 0)的 a 离心率为y,4、42分别为補圆厂的左、右顶 点,B为椭圆厂的上顶点,6为椭圆厂的左20_焦点,且的面积为f.(1)求 椭 圆 厂 的 方 程;(2)设 过 点/)(1,)的 动 直 线/与椭圆厂 交于两点(点 在x轴 上 方),M、/V分别为 直 线/IA F与y轴的交点,求的值13.如 图 3,A仙c的 内 切 圆 /与 三 边 分 别 切 于 点/、匕 F,联 结 4D,与 /的 第 二 个 交 点 为P,过 点P 分 别 作的 平 行 线,与 7 的 第 二 个 交 点 分 别 为/?、(?,的 内 心 分
3、 别 为/,、/2.证 明:/义/.14.已知/(:)=#%a(a:0,a G R).(1)若/(幻 多 0恒 成 立,求a的 最 大 值;(2)若为/(x)的 两 个 零 点,证 明:七+*2 2a.15.设 数 列|a丨为正整数列,满 足:a,=a,an+1=an +(n+1 ,an)(n=(1)证 明:当a=3 时,存 在 唯一一个正 整 数t使 得 =2 灸;(2)若 3,试 探 究 满 足 4=2/的正整 数 的 存 在 性 及 其 个 数,并证明你的结论.注:这 里(,y)表 示 正 整 数 、y的最大公 约数.易知,/(%)=7 1 是定义在(-,0)UX X(0,+)上的偶函数,且在区间(,+a)上 单调递减.由已知条件得 la-2l I2a+l l0.解 得-3 a,与 交 于 点 尺由/IC为Z似图4的平分线,知M丄M:,为 的 中 点.在从呢中,由余弦定理得抓2=22+22-2 x2 x2 X f=2.参 考 答 案N l.3.依题意有%+ax +bx+c=(%-1)(丨-(1 -)(尤-(1 +=(%-1)(丨-(1 -)(尤-(1 +i)=(%1)(-2.x+
4、2)=%3x+4x 2.贝 丨Ja=-3,&=4,c=-2.故 a+6-c=-3+4-(_ 2)=3.则狀=/则狀=/i 2 2-DEy i421C.iXAC=2AF=AE+AD=jA B+AD.2从而,LA1 1,A+p:如图5,作 丄M/V于 点 ,联 结D.2022年第4 期21图 5图 5由 长 方 体 的 性 质,知丄,.则 A/V 丄平面/),/)=M/V 丄 Z),于 是,Z/,/)为二面角,-M/V-Z)的 平 面 角,Z/,=4 5。,)=/),/)=2.故&-DD.SADMNx2 x2MN解 得M/V设 三 棱 锥D,-DM/v的 外 接 球 半 径 为/?则由两两垂直得2R=jD lf+DM1 +DN2 =+MV2 /76因 此,三 棱 锥A-zM/yv外 接 球 的 表 面积 为 械2=竽7T.5.35.设/(尤)=%2 +a%+厶,贫()=尤2 +c尤 +1由题设条件得20(1-a+厶)=21(1-c+6,20(1+a+6)=21(l+c+d).+得40+40/=42+42J=20/=l+2d;-得-40a=-42c=20a=21 c.又 由g(6)=3 5得
5、36+6c+=35.m丨,20 206-1 贝 丨J 36+6 x+=35=6a+6=-1.AJ故/(6)=36+6a+6=35.6.3.设/(幻=(尤-2)e r,g(%)=a:r+1.则/0)=U-1 )eA,1 时,/(x)1 时,/(尤)0.于 是,/(幻 在 区 间(-,1)上 单 调 递 减,在 区 间(1,+)上 单 调 递 增;且X 2 时,f(x)2 0v(,/().由此作出/(x)的 草 图 如 图 6.又g U)的 图 像 是 过 点(,1)的 直 线,结合图像 知 a 0.由 于a 0 时,/(0)=-2 g(0)=l,/(D=-eg 1 )=a+1 ,/(2)=0 g(2)=2a+l,故、l、2 是不等式(x-2)ex ax+l 的三个整数解.由于不等式有且仅有三个不同的整数 解,于 是,|/(_ 1)彡茗(_ 1),f3e 1$:-a+1 ,图6图61/(3)外(3)1 3 x5y:2 x33 =54,当 且 仅 当y x=2y,即::=v,y=f时,上式22书 等 数 学等号成立.故P y的 最 大 值 为 54.8.2 0+2.依 题 意 得c=在中,由
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