2021年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷含答案

192021年全国高中数学联赛福建赛区预赛、填 空 题（每 小 题 6 分，共 6 0 分）1.若;r,=1，;j c2=1-i，3=1+i 为方程 x +ax +bx+c=0 的 三 个 解，贝！J a+厶一c=7.若 正 实 数x、y满 足x(x+2y)=9，则 的最大值为_8.已知离心率为f的双曲线厂:&-f=a 2.已知/=4+去.若/(a _2)/(2a+1)X X成 立，则a的取值范围是 3.如 图1，在 四 边 形AfiCZ)中，cos Z_ BAD4ABZ B A C=Z D A C,图1AD，则 三 棱 锥A-DM/V外 接 球 的 表 面 积为_5.已知/(%)、g U)是 两 个 二 次 项 系 数 均/(-I)g(_ 1)为 1 的 二 次 函 数.若g(6)=3 5，=贝 丨 丨 6)=.g(l)20 从M;-6.若 关 于 的 不 等 式-2)eT )的 左、右 焦 点 分 别 为f、F2，P为 双 曲 线 上 一 点，、r分 别 为 心 外 接 圆、内 切 圆 的 半 径.若Z=6 0 ,则f=9.若 5；r为 函 数/(；:)=cos ra:sin 可；c 的n一 个 周 期，则 正 整 数n的 所 有 可 能 取 值 为10.若 整 数a 满 足：0 al0,0 6 1 0,0 cl0,10+b+c 2 0,则满足条件的有序数组(a，6，C)共有_组.二、解 答 题（每 小 题 2 0 分，共 100分）11.已 知 数 列|丨、|6丨满足：i=3 n+i=2a+2n+1 -1 ,(1)求数列丨 1的通项公式；(2)设c =，7；为数列U 丨的前n项 和，证 明：r2.12.已 知 椭 圆 厂+g =l(a 6 0)的 a 离心率为y，4、42分别为補圆厂的左、右顶 点，B为椭圆厂的上顶点，6为椭圆厂的左20_焦点，且的面积为f.(1)求 椭 圆 厂 的 方 程；(2)设 过 点/)(1，)的 动 直 线/与椭圆厂 交于两点（点 在x轴 上 方），M、/V分别为 直 线/IA F与y轴的交点，求的值13.如 图 3，A仙c的 内 切 圆 /与 三 边 分 别 切 于 点/、匕 F，联 结 4D，与 /的 第 二 个 交 点 为P，过 点P 分 别 作的 平 行 线，与 7 的 第 二 个 交 点 分 别 为/?、(?，的 内 心 分 别 为/,、/2.证 明:/义/.14.已知/(：)=#%a(a:0，a G R).(1)若/(幻 多 0恒 成 立，求a的 最 大 值；(2)若为/(x)的 两 个 零 点，证 明:七+*2 2a.15.设 数 列|a丨为正整数列，满 足：a,=a,an+1=an +(n+1 ,an)(n=(1)证 明：当a=3 时，存 在 唯一一个正 整 数t使 得 =2 灸;(2)若 3，试 探 究 满 足 4=2/的正整 数 的 存 在 性 及 其 个 数，并证明你的结论.注:这 里(，y)表 示 正 整 数 、y的最大公 约数.易知，/(%)=7 1 是定义在（-，0)UX X(0,+)上的偶函数，且在区间（,+a)上 单调递减.由已知条件得 la-2l I2a+l l0.解 得-3 a，与 交 于 点 尺由/IC为Z似图4的平分线，知M丄M：，为 的 中 点.在从呢中，由余弦定理得抓2=22+22-2 x2 x2 X f=2.参 考 答 案N l.3.依题意有%+ax +bx+c=(%-1)(丨-(1 -)(尤-(1 +=(%-1)(丨-(1 -)(尤-(1 +i)=(%1)(-2.x+2)=%3x+4x 2.贝 丨Ja=-3,&=4，c=-2.故 a+6-c=-3+4-(_ 2)=3.则狀=/则狀=/i 2 2-DEy i421C.iXAC=2AF=AE+AD=jA B+AD.2从而，LA1 1，A+p:如图5，作 丄M/V于 点 ，联 结D.2022年第4 期21图 5图 5由 长 方 体 的 性 质，知丄,.则 A/V 丄平面/),/)=M/V 丄 Z),于 是，Z/,/)为二面角,-M/V-Z)的 平 面 角，Z/,=4 5。，)=/),/)=2.故&-DD.SADMNx2 x2MN解 得M/V设 三 棱 锥D,-DM/v的 外 接 球 半 径 为/?则由两两垂直得2R=jD lf+DM1 +DN2 =+MV2 /76因 此，三 棱 锥A-zM/yv外 接 球 的 表 面积 为 械2=竽7T.5.35.设/(尤)=%2 +a%+厶，贫()=尤2 +c尤 +1由题设条件得20(1-a+厶）=21(1-c+6,20(1+a+6)=21(l+c+d).+得40+40/=42+42J=20/=l+2d；-得-40a=-42c=20a=21 c.又 由g(6)=3 5得36+6c+=35.m丨，20 206-1 贝 丨J 36+6 x+=35=6a+6=-1.AJ故/(6)=36+6a+6=35.6.3.设/(幻=(尤-2)e r，g(%)=a:r+1.则/0)=U-1 )eA，1 时，/（x)1 时，/（尤）0.于 是，/(幻 在 区 间（-，1)上 单 调 递 减，在 区 间（1，+)上 单 调 递 增；且X 2 时，f(x)2 0v(,/().由此作出/(x)的 草 图 如 图 6.又g U)的 图 像 是 过 点(，1)的 直 线，结合图像 知 a 0.由 于a 0 时，/(0)=-2 g(0)=l,/(D=-eg 1 )=a+1 ,/(2)=0 g(2)=2a+l,故、l、2 是不等式(x-2)ex ax+l 的三个整数解.由于不等式有且仅有三个不同的整数 解，于 是，|/(_ 1)彡茗（_ 1)，f3e 1$：-a+1 ,图6图61/(3)外(3)1 3 x5y：2 x33 =54,当 且 仅 当y x=2y,即：:=v，y=f时，上式22书 等 数 学等号成立.故P y的 最 大 值 为 54.8.2 0+2.依 题 意 得c=在中，由正弦定理得2R=2csin Z_ Fj PF2s6a sin 60R=a.如 图 7，不 妨 设 点P在 双 曲 线 的 右 支 上，A 心 的 内 切 圆Q/切 轴 于 点/).9.2,10.由题意得/(5tt)=cos 5n丌丌卜,(0)=0由 于n为 正 整 数 时，cos 5n7r=1#0,故400sin 2 n7t=0=t c=kix.(A:G Z)nn 1400=n=,2,4,5,10,20.将n=1，2，4，5，10，2 0 逐一代入验证知则 由 双 曲 线 性 质，知Z)为 双 曲 线 的 右 顶 点，FD =c+a y F2D =c-a.iXn Z l F-rc+at a n Z/F2F1=又Z/&=60，于 是，ianZ!F,F2+Z l F2Fx)c+a c-ac+a c-a2cra)-in=2,10.从 而，正 整 数n的 所 有 可 能 取 值 为 2,10.10.891.设a+厶=贝lj 0 矣t各20.当 0$矣 1 0 时，满 足 条 件 的 有 序 数 对 (a，6)有 f+1 对,此 时，10-c 1 0，c 的取 值有+1种 情 况，满 足 条 件 的 有 序 数 组（a,6，C)有（0 解得an=26+1 ,an+1 =2n+lbn+l+1.代人 a+1=2a+2+1-l 得2n+lbn+l+1-2(26+l)+2n+,-1.则 +1 _ =U即 数 列 丨U为 等 差2-V2 1厂=-a=-a.2 2+J2=72(2+V2)=2 4+2.r数列.又办i=-=i，故 bn-+1 x(n-)=n.2022年第4 期23(2)由（1)知&Ik1 1则n+m2n-1 2n/.III 1:-(1+T+m)+2(备+士+备+去+.+2 4 6 8 2n)(,1；-(1+Y+3-+4+-+2)+1 /,1 1 1 1 2X 了(1+了+了+?+.+7)/1 1 1 U+1 +n+2+2n)由柯西不等式知/1 1 1、U+1、+2+2/J (I2 +I2+I2)11 n(n+1)2 (n+2)2 1 1+n(n+l)(n-l)(n-2)1(2aiV+(2n-1)I n)If丄-丄u丄U 2rJ 一 2 故11 1 2 r*-+.在12.(1)由椭圆厂的离心率为 得 于 是，a=|c，/二=I Ofi 丨 故丨从丨$A4丨 尸 丨 =1 1 J5 2 75 X C X V c=c=V 2 2 2 8 2解得 c=2，a=3,厶=7.从而，椭圆厂的方程为 f=1.(2)如图8.易 知，直 线/的 斜 率 不 为 .l：x=my+1.rX=my+1 ,由 0 的情况.A由 g(x)=l 得：X X0 x t,g，(%)a B,gr，(%)0.则g U)在 区 间（，a)上 为 减 函 数，在区 间（a，+0 0)上为增函数,g(x)的最小值为g(a)=a-aln a.由 g(a)=a-aln fl)0 =l n a l=0 0、/,，三点共线.类似地，/)、/2、：三点共线.联结 DE、PF、PE.因为仙厂,所以，p p APA A F P /A D F=9.类 似 地，EP AP D EA E因 为 从=从，所以，一=&.LZ liDP=Z FDQ=Z FPQ,Z l lPD=Z l iPQ,则 Z F WI D P+Z IP D =z FPQ+Z I PQ=Z FPIV 故 FP=FIt.类似地，EP=Ef2.(2)由（1)知为g(*)的两个零点.结 合(幻的单调性，知%2 a 2 a，则a+%2 2 a 显然成立.若a 尤1 2a，设h(x)=g(2a-x)-g(x)(a x o.la-x x x2a-x)于是，/l U)在区间（a，2fl)上为增函数，a x h(a)=0.故 )=故 )=g(2(2a-%】）-贫(&)0，-%】）-贫(&)0，g(2a-X)g(xx)=g(x2)=0.又 0 2a尤i a，0%2 a，且 g(尤)在区间（，a)上为减函数，从而，2a-xx 2a.15.(1)当 a=3 时，由 a,=3 知 a2=a丨+(2，a丨）=3+(2,3)=4，a3=a2 +(3,a2)=4+(3,4)=5.若=A:+2(A：多3)，则F P _ E P 结口 DF-DE 1 守从而，/火/EF.FI,_EI2 F DE D14.(l)x0 时，f(x)=ex-xa 0er xa xaln x x-aln xO.设贫（尤）x aln x.则/(X)多0恒 成 立G g(;c)多0恒成立.易 知，fl=0 符合要求.*+1 a h +(k+l,ak)=众+2+(/c+1，众+2)=Ai+3.于是，当 A：=2,3,时，总 有 a4 =/c+2.又当A：彡3 时，2/c&+2=a4，故只有A =2,满足 aA =2/c.从而，当 a=3 时，存在唯个正整数“2,使 得 =2/c.(2)当 a 3 时，a,彡4.若=4,则a2-a x+(2,a,)=4+(2,4)=4+2=6.2022年第4 期25若a,多5，则a2=a,+(2,a,)5+(2,a,)6.故 若 存 在 正 整 数/c，使得=2/c，则 0 3.接 下 来 证 明：当a 3 时，不 存 在 正 整 数 fc，使得 q=2k.反证法.假 设 存 在 正 整 数I使 得 义=2 记 m.=min 丨 A;丨=2A:,A;6 Z+j.则 m 多3.引 理 当 1矣r;矣m.-1 时，总有an ：2/j.证 明 由 前 面 讨 论 知a,2，a2 4.若 2(n-1)(2a i 2(-1)+1)2(-1)+1=2/J.-1=2/J.-1=a n 2n,结 合m.的最小性知#2?1.故 a 2ra.归 纳 知 当 1-1 时，总有 2n.引理得证.下 面推出矛盾.易 见，U|为 严 格 单 调 递 增 的 正 整 数 歹 1J因为、=2m,所 以，-1.又 由 引 理 知 2(m-1)，故am_,=2m-1.注 意 到，