2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（　　） A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2} 2.（单选题，4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　） A.f（x）=lnx B.f（x）=2x C.f（x）=x3 D.f（x）=sinx 3.（单选题，4分）在等比数列{an}中，若a32=16a2，则a4=（　　） A.32 B.16 C.8 D.4 4.（单选题，4分）在二项式（x- 2x ）5的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.5 B.-5 C.10 D.-10 5.（单选题，4分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点（-1，0），将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ=（　　） A. 12 B. −12 C. 32 D. −32 6.（单选题，4分）人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB级别跃升到PB，EB乃至ZB级别（1TB=1024GB，1PB=1024TB，1EB=1024PB，1ZB=1024EB）．由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图． 根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y和时间x的函数模型是（　　） A.y=a+bx B.y=a+b x C.y=a+blnx D.y=a+bex 7.（单选题，4分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M．若|MF|=|PF|，则|PM|=（　　） A.2 B. 3 C.4 D. 23 8.（单选题，4分）已知直线l：y=mx-m-1，P为圆C：x2+y2-4x-2y+1=0上一动点，设P到直线l距离的最大值为d（m），当d（m）最大时，m的值为（　　） A. −12 B. −32 C. 23 D.2 9.（单选题，4分）已知点A，B，C不共线，λ，μ为实数， AP =λ AB +μ AC ，则“0＜λ+μ＜1”是“点P在△ABC内（不含边界）”的（　　） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.（单选题，4分）已知{an}是各项均为正整数的数列，且a1=3，a7=8，对∀k∈N*，ak+1=ak+1与ak+1= 12 ak+2有且仅有一个成立，则a1+a2+⋯+a7的最小值为（　　） A.18 B.20 C.21 D.23 11.（填空题，5分）在复平面内，复数z对应点的坐标是（-1，2），则 z =___ ． 12.（填空题，5分）已知双曲线C：x2- y2b2 =1（b＞0）的两条渐近线互相垂直，则b=___ ；C的离心率为 ___ ． 13.（填空题，5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．写出以l，m，α，β之间的部分位置关系为条件（l⊥α除外），l⊥α为结论的一个真命题：___ ． 14.（填空题，5分）函数f（x）=sin（ωx+ π3 ）（ω＞0）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…．若x3-x2= π2 ，则ω=___ ；x21=___ ． 15.（填空题，5分）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），A6（0，-6），A7（7，0），A8（0，8），并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论： ① 对于任意正整数n，|AnAn+4|=4； ② 存在正整数n，|AnAn+1|为整数； ③ 存在正整数n，三角形AnAn+1An+2的面积为2022； ④ 对于任意正整数n，三角形AnAn+1An+2为锐角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 16.（问答题，13分）在△ABC中， ba = 105 ，cosA= 1010 ． （Ⅰ）求证：△ABC为等腰三角形； （Ⅱ）再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值． 条件 ① ：∠B= π6 ； 条件 ② ：△ABC的面积为 152 ； 条件 ③ ：AB边上的高为3． 17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为线段PD上的动点． （Ⅰ）若直线PB || 平面ACM，求证：M为PD的中点； （Ⅱ）若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为 33 ，求 PMMD 的值． 18.（问答题，13分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如表： 高中部 初中部 男生 女生 男生 女生 清楚 12 8 24 24 不清楚 28 32 38 34 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立． （Ⅰ）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率； （Ⅱ）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“ξ=1”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“ξ=0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=1”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差Dξ和Dη的大小关系．（结论不要求证明） 19.（问答题，15分）已知椭圆C： x2a2 + y2b2 =1过点A（- 3 ，0），其右焦点为F（1，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P为椭圆C上一动点（不在x轴上），M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x=3交于点Q．问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由． 20.（问答题，15分）曲线y=lnx在点A（t，lnt）处的切线l交x轴于点M． （Ⅰ）当t=e时，求切线l的方程； （Ⅱ）O为坐标原点，记△AMO的面积为S．求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间． 21.（问答题，15分）对于给定的正整数m和实数a，若数列{an}满足如下两个性质： ① a1+a2+⋯+am=a； ② 对∀n∈N*，an+m=an，则称数列{an}具有性质Pm（a）． （Ⅰ）若数列{an}具有性质P2（1），求数列{an}的前10项和； （Ⅱ）对于给定的正奇数t，若数列{an}同时具有性质P4（4）和Pt（t），求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）若数列{an}具有性质Pm（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式 aN+1+aN+2+⋯+aN+kk ≥ am 均成立． 2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（　　） A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2} 【正确答案】：A 【解析】：利用交集定义求出A∩B． 【解答】：解：集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B={0，1}． 故选：A． 【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.（单选题，4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　） A.f（x）=lnx B.f（x）=2x C.f（x）=x3 D.f（x）=sinx 【正确答案】：C 【解析】：由常见函数的奇偶性和单调性可得结论． 【解答】：解：f（x）=lnx（x＞0）不是奇函数，故A不符题意； f（x）=2x是非奇非偶函数，故B不符题意； f（x）=x3是奇函数，且在定义域R上是增函数，故C符合题意； f（x）=sinx是奇函数，在[2kπ- π2 ，2kπ+ π2 ]（k∈Z）上递增，故D不符题意． 故选：C． 【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题． 3.（单选题，4分）在等比数列{an}中，若a32=16a2，则a4=（　　） A.32 B.16 C.8 D.4 【正确答案】：B 【解析】：由等比数列的性质得，a32=a2•a4=16a2，从而可求． 【解答】：解：等比数列{an}中，由等比数列的性质得，a32=a2•a4=16a2， 则a4=16． 故选：B． 【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题． 4.（单选题，4分）在二项式（x- 2x ）5的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.5 B.-5 C.10 D.-10 【正确答案】：D 【解析】：先求出展开式的通项公式，再令x的指数为3，由此即可求解． 【解答】：解：二项式（x- 2x ）5的展开式的通项公式为Tr+1=C ​5r•x5−r•−2xr =C ​5r•−2rx5−2r ， 令5-2r=3，解得r=1， 所以展开式中含x3的项的系数为C ​51•−21 =5×（-2）=-10， 故选：D． 【点评】：本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 5.（单选题，4分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点（-1，0），将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ=（　　） A. 12 B. −12 C. 32 D. −32 【正确答案】：A 【解析】：根据三角函数的定义，结合两角和的余弦公式即可求解． 【解答】：解：由已知可得sinα=0，cosα=-1， 将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合， 则β=α+120°， 则cosβ=cos（α+120°）=cosαcos120°-sinαsin120°=-1×（- 12 ）-0× 32 = 12 ． 故选：A． 【点评】：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和的余弦公式进行化简是解决本题的关键． 6.（单选题，4分）人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB级别跃升到PB，EB乃至ZB级别（1TB=1024GB，1PB=1024TB，1EB=1024PB，1ZB=1024EB）．由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图． 根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y和时间x的函数模型是（　　） A.y=a+bx B.y=a+b x C.y=a+blnx D.y=a+bex 【正确答案】：D 【解析】：根据散点图中点的分布情况，结合选项中的函数模