2022年天津北辰区体育中学高二数学理模拟试题含解析

2022年天津北辰区体育中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“”的否定是 （A）对           （B）不存在  （C）对           （D） 参考答案： A 2. 已知函数，若对区间[0,1]内的任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A. [1,2] B. [e,4] C.[1,2)∪[e,4] D. [1,4] 参考答案： D 对任意实数，都有，则，，分类讨论：①时，恒成立，在单调递减， .②时，恒成立，在单调递增， ③时，在单调递增，单调递减， (Ⅰ)即时， (Ⅱ)即时， 令恒成立，在恒成立，,综上可得，实数的取值范围是，故选D. 3. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 参考答案： A 【考点】平行投影及平行投影作图法． 【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影． 【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况； 从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 故选A． 【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成． 4. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案． 【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b． 由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b， 由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得， |MN|2=（a+b）2﹣2ab， 又ab≤， ∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2， 得到|MN|≥（a+b）． ∴≤=，即的最大值为． 故选A． 5. 已知直线l1：和l2：互相平行，则实数m=　　 A. m=－1或3 B. m=－1 C. m=－3 D. m=1或m=－3 参考答案： A 由题意得: ,选A. 6. 抛物线y=2x2的准线方程是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可． 【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y 故p=， 其准线方程为y=﹣， 故选：D 7. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项. 【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A. 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项. 8. 已知集合，，则P∩Q=（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 首先解出集合中的不等式，再和集合求交集即可 【详解】由题意得所以，所以选择B 【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算，属于基础题。 9. A   B   C   D 参考答案： A 略 10. 若圆心坐标为（2，-1）的圆在直线上截得的弦长为，则这个圆的方程是（    ）    A．       B． C．       D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列的通项公式为，则其前n项和            参考答案： 略 12. 设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　   　． 参考答案： 4 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围． 【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3， 当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾， 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±， ①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数， ②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数， ③当x＞时，f（x）为递增函数． 所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可 由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4， 由f（﹣1）≥0，可得a≤4， 由f（1）≥0解得2≤a≤4， 综上a=4为所求． 故答案为：4． 　 13. 函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是   　　　　　 ． 参考答案： 1 14. 已知函数f（x）=，则f′（1）=　　． 参考答案： 考点： 导数的运算． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 首先对函数求导，然后代入1计算导数值． 解答： 解：由已知f′（x）=（）′=（x﹣1+）′=1﹣， 所以f′（1）=1﹣=1﹣=； 故答案为：． 点评： 本题考查了导数的求法以及求导数值；关键是熟练掌握导数公式，正确运用． 15. 把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成        个小组. 参考答案： 9 ∵， 又， ∴， 即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．   16. =（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则x+y=　　． 参考答案： 【考点】共线向量与共面向量． 【分析】利用向量共线的充要条件即可求出． 【解答】解：∵与为共线向量，∴存在实数λ使得， ∴解得，∴． 故答案为． 17. 若(2x－1)8＝a8x8＋a7x7＋……＋a1x＋a0，则a8＋a6＋a4＋a2＝_________________. 参考答案： 3280 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，求这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ 参考答案： 设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入x，y份， 则，目标函数z＝10x＋15y， 作出可行域，得最优解为x＝4，y＝2，∴＝70万元. 19. 已知 （1）求展开式中各项系数和；（2）二项式系数最大的项. （3）求展开式中含的项；（4）求展开式中系数最大的项 参考答案： (1)取得各项系数和为=1………………………………3分 (2) 由知第5项二项式系数最大,此时…………………………7分 (3)由通项公式 令.故展开式中含的项为…….11分 (3)设展开式中第的系数的绝对值最大.则解得 且          所以………………………………….13分 又的系数为负,所以系数最大的项为……………………………….15分 20. （本小题满分12分）已知点是圆上的动点， （1）求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（1）设圆的参数方程为，………………………2分 ………………………4分 ………………………6分           （2）………………………8分               …………10 略 21. 甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为(cm)，相关行业质检部门规定：若，则该零件为优等品；若，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据： 尺寸 甲零件频数 2 3 20 20 4 1 乙零件频数 3 5 17 13 8 4 （Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元. 若将频率视为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望； （Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由. 参考公式：. 参考数据： 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0.010 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6.635 参考答案： 解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为元，它的分布列为 3 1 0.8 0.14 0.06                …………3分  则有=3×0.8+1×0.14+（-1）×0.06=2.48（元）. 所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元.               …………6分 （Ⅱ）由表中数据得：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20 个.制作2×2列联表如下:   甲机床 乙机床 合计 优等品 40 30 70 非优等品 10 20 30 合计 50 50 100 …………9分 假设零件优等与否和所用机床无关 计算=.                    ………………11分      考察参考数据并注意到，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．                                                        ………………13分   略 22. 已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0． （1）求圆的圆心C的坐标和半径长； （2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值； （3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径； （2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值； （