材料力学计算题库

1、第一章 绪论【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。 （3）由平衡条件 【例1-2】 图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。x方向 【例1-3】 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中a点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。第二章 拉伸、压缩与剪切【例题2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取

2、左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程，得 结果为正值，故为拉力。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程，得 结果为负值，说明为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力为(a)(b)(c)(d)(e)(f)图2. 1 例题2.1图【例题2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。、两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得(压应力)(压应力)由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为，是压应力。【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为，截面面积为，材料容重为。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：应用截

3、面法，在距下端距离为处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为，则有 (a)设横截面上的轴力为，则由平衡条件， (b)将(a)式值代入(b)式，得 (c)即为的线性函数。当时，当时， (a) (b) (a) (b) (c)图2.8 例题2.2图 图2.9 例题2.3图式中为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为 (d)即应力沿杆长是的线性函数。当时，当时，式中为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径，壁厚，气压，活塞杆直径，试求汽缸横截面及纵向截面上的 应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1) 求横截面上的应力。取截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件，当时，得截面上的轴力为截面的面积为那么横截面上的应力为称为薄壁圆筒的轴向应力。图2.10 例题2.4图(2) 求纵截面上的应力。取长为的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件，得截面上的内力为截面的面积为当时

4、，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面上的应力为称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题2.7】 螺纹内径的螺栓，紧固时所承受的预紧力为。若已知螺栓的许用应力MPa，试校核螺栓的强度是否足够。解：(1) 确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为(MPa)(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为螺栓横截面上的实际应力为MPa(MPa)所以，螺栓的强度是足够的。【例题2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载作用，屋架的上弦杆和由钢筋混凝土制成，下弦杆为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：，钢的许用应力MPa，试设计钢拉杆的 直径。解：(1) 求支反力和，因屋架及荷载左右对称，所以图2.25 例题2.8图(2) 用截面法求拉杆内力，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由，得(3) 设计Q235钢拉杆的直径。由强度条件得【例题2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图

5、2.26(a)所示，为其中一根支撑杆。各杆为的圆木，其许用应力MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。(1) 计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是杆的计算简图如图2.26(b)所示。图2.26 例题2.9图(2) 计算杆的内力。水压力通过防水闸门传递到杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为 其中为水的容重，其值为10；为水深，其值为3；为两支撑杆中心线之间的距离。于是有根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件，其中得(3) 根据杆的强度条件确定间距的值。由强度条件得【例题2.10】 三角架由和两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆由两根No.14a的槽钢组成，许用应力MPa；杆为一根No.22a的工字钢，许用应力为MPa。求荷载的许可值。 (a) (b)图2.34 例题2.10图解：(1) 求两杆内力与力的关系。取节点为研究对象，其受力如

6、图2.34(b)所示。节点的平衡方程为，解得 (a)(2) 计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆和的横截面面积分别为，。根据强度条件得两杆的许可轴力为(3) 求许可荷载。将和分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为所以该结构的许可荷载应取。【例题2.5】 已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1) 作轴力图；(2) 计算杆的总伸长量。图2.37 例题2.5图解：(1) 画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得轴力图如图2.37(b)所示。(2) 求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为杆的总伸长量为【例题2.6】 如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，钢的弹性模量200GPa。试求A点在铅垂方向的位移。图2.38 例题2.6图解：(

7、1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有，解得各杆的轴力为， (2) 计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有(3) 利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点，再过点作水平线，与过点A的铅垂线交于点，则便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得， 可得， 所以点A的铅垂位移为 从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。【例题2.11】 两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。图2.38 例题2.11图(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为， (a)(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力和未知力作用，并引起变形。设杆由力引起的变形为(如图2.38(d)所示)，由引起的变形为(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系 (b)(3) 物理方面。由胡克定律，有， (c)将式(c)代入式(b)即得补充方程 (d)最后，联立解方程(a)和(d)得，求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。【例题2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力作用，如图2.39所示。、和、分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为多少？解：设钢筋和混凝土的内力分别为和，利用截面法，根据平衡方程， (a)这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为 (b)由物理关系知图2.39 例题2.12

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