高三数学复习排列与组合（含答案）

排列与组合 1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。 2．排列、组合问题的求解方法与技巧 ①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。 一、走进教材 1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　) 2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　) A．18 B．24 二、走近高考 3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。(用数字作答) 三、走出误区 微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。 5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。 6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。 考点一 简单的排列问题　　 　　　　　 　　　　 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。 (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻。 【变式训练】　(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　) A．A种 B．A种 C．AAA种 D．AA种 (2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　) A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 考点二 组合问题 【例2】　(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。(用数字作答) (2)共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务。现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是________。 【变式训练】　(1)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．19 (2)现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________。 考点三 排列与组合的综合应用微点小专题 方向1：排列与组合应用题 【例3】　(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．42 (2)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 方向2：定序问题 【例4】　某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种。 方向3：分组分配问题 【例5】　数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　) A.A种 B．CCC34种 C.43种 D．CCC43种 【题点对应练】　 1．(方向1)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人。其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 2．(方向2)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为(　　) A．24 B．36 C．48 D．96 3．(方向3)6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有1位机关干部扶贫，则不同的分配方案有__ 分组分配问题中的易错点 一、整体均分问题 【典例1】　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法。 二、部分均分问题 【典例2】　将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________。 三、不等分组问题 【典例3】　将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法。 【变式训练】　某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则有________种不同的分配方法。 涂色问题 1.给图中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择，这样的涂法种数有 . 2.如图一圆面分成五个部分，有4种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色，则涂法种数为（ ） A、72 B、36 C、24 D、12 3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要求栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有______种 隔板法 排列与组合答案 一、走进教材 1．解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48。故选C。 答案　C 2．解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种。 解析：从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30。故选C。 二、走近高考 3．解析　4＝2＋1＋1，由题意，3名志愿者中，有两人各完成1项，一人完成2项，先将4项工作分成三堆，共种分组方法，再把这三堆分配给3名志愿者，共A种分配方法，由分步乘法计数原理，共·A＝36种。故选D。 答案　D 4．解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。 答案　1 260 三、走出误区 微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。 5．解析　分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法。所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种)。 答案　350 6．解析　设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A种摆法，再与产品D，E全排列有A种摆法，最后把产品C插空有C种摆法，所以共有AAC＝36(种)不同摆法。 答案　36 考点一 简单的排列问题　　 　　　　　 　　　　 【例1】解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)。 (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)。 (3)(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)。 解：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)。 (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)。 (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)。 【变式训练】 解析　(1)中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法。根据分步计数原理，共有AA种站法。故选D。 (2)一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座。因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法。 答案　(1)D　(2)C 考点二 组合问题 【例2】解析　(1)根据题意，没有女生入选有C＝4(种)选法，从6名学生中任意选3人有C＝20(种)选法，故至少有1位女生入选，不同的选法共有20－4＝16(种)。 解析：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种。 (2)分三种情况讨论：①两辆蓝色共享单车，有CC＝90种，②三辆蓝色共享单车，有CC＝24种，③四辆蓝色共享单车，有C＝1种。根据分类加法计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90＋24＋1＝115。 答案　(1)16　(2)115 【变式训练】解析　(1)在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9种；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9种；物理、政治、历史三科都选的选法有1种。所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19种。故选D。 解析：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种，故选D。 (2)分类完成，含有一张黑桃的不同取法有CC＝108(种)，不含黑桃时，有C－3C＝81(种)不同的取法。故共有108＋81＝189种不同的取法。 答案　(1)D　(2)189 考点三 排列与组合的综合应用微点小专题 方向1：排列与组合应用题 【例3】　解析　(1)四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1,2的两个篮球分给同