高三数学专题复习数列

高考数学专题复习数列 1．(2019·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重(　　) A．6斤 B.7斤 C．9斤 D．15斤 2．若lg a1，lg a2，lg a3，lg a4，lg a5是公差为2的等差数列，则＝(　　) A．106 B.107 C．108 D．109 3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝12，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　) A．无实根 B.有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步，构造数列1，，，，…，； 第二步，将第一步中数列的各项乘以n，得到的新数列记为a1，a2，a3，…，an. 则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　) A．n2 B.(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 5．(多选)(2019·辽宁育才中学)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则(　　) A．an＝3n－1 B.an＝2n－1 C．a4＝27 D．an－an－1＝2·3n－2(n≥2) 6．(多选)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn<500 B.Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和点Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9＝________. 9．(一题两空)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.则数列{bn}的通项公式为________；数列{an}的通项公式an＝________. 10．(2019·湖南长沙雅礼中学5月模拟)春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院近30天入院治疗流感的总人数为________． 11．[创新题型](2020·山东高考预测卷)在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③3a2＋a3＝b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由． 已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且________，设cn＝，是否存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn? 12．已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列前n项的和Tn. B级——提能综合练 13．(多选)(2020·贵州遵义二联改编)对于数列{an}(n∈N*)，满足性质“对任意的正整数n，≤an＋1都成立”的数列是(　　) A．an＝n2＋n＋1 B.an＝2n＋1 C．an＝ln D．an＝2n－1 14．(2019·安徽黄山三检)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2.记an＝log 2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项an＝________. 15．(2020·安徽安庆模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，an＝2－1. (1)求a1的值，并求数列{an}的通项an； (2)设bn＝an＋2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn0，∴此方程有两个不等实根．故选C. 4．解析：选C　由题意得，新数列为n，，，，…，， 故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an ＝n·＋·＋·＋…＋· ＝n2 ＝n2 ＝n2 ＝n(n－1)． 故选C. 5．解析：选ACD　黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通项公式可以是an＝3n－1. 6．解析：选AC　第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了m，第三次着地时，共经过了m，…，以此类推，第n次着地时，共经过了m.所以Sn＝100＋＝100＋400.则Sn是关于n的增函数，所以当n≥2时，Sn的最小值为S2，且S2＝.又Sn＝100＋400<100＋400＝500.故选A、C. 7．解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2. 答案：2 8．解析：因为过点P(n，Sn)和点Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，所以＝Sn＋1－Sn＝an＋1＝3n－2(n∈N*)，所以a2＝1，a4＝7，a5＝10，a9＝22，所以a2＋a4＋a5＋a9＝40. 答案：40 9．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q＋q2－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以，bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，② 联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2. 答案：2n　3n－2 10．解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)， 所以当n为奇数时，an＋2＝an，当n为偶数时，an＋2－an＝2， 所以a1＝a3＝…＝a29，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列． 因为a1＝1，a2＝2， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255. 答案：255 11．解：设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q＞0)， 因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2， 所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去)．所以bn＝2n－1. 若存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn，则cn存在最小值． 若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5， 可得解得 所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝. 因为n∈N*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值， 即不存在满足题意的k. 若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5，可得解得 所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝. 因为当n≤20时，cn＞0，当n≥21时，cn＜0， 所以易知cn的最小值为c21＝－. 即存在k＝21，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn. 若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4， 可得解得 所以Sn＝，cn＝＝. 因为2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值， 即不存在满足题意的k. 12．解：(1)函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点， 则a－b＝0，即a＝b.① 因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a＋b＝－1.② 由①②得a＝1，b＝1， 所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n. 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n. 当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n. (2)由于an＝2n， 则＝＝， 则Tn＝ ＝＝. B级——提能综合练 13．解析：选BCD　对于A，＝＝8＞a2＝7，不满足性质“对任意的正整数n，≤an＋1都成立”；对于B、D，数列{2n＋1}和{2n－1}都是等差数列，故有＝an＋1，满足性质“对任意的正整数n，≤an＋1都成立”；对于C，an＝ln，an＋2＋an＝ln，2an＋1＝ln2，又·－2＝＜0，即有≤an＋1，因此数列{an}满足性质“对任意的正整数n，≤an＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n，≤an＋1都成立”的数列为B、C、D. 14．解析：由题意，根据an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，可得an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2]＝log2＝3an－1， 设an＋1＋m＝3(an＋m)，即an＋1＝3an＋2m，可得m＝－， 易知a1＝log2(1×2×2)＝2，则数列是首项为2－＝，公比为3的等比数列，故an－＝×3n－1， 所以an＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) 15．解：(1)由已知an＝2－1，得当n＝1时，a1＝2－1，解得a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入已知有2－1＝Sn－Sn－1，可得Sn－1＝2. 又an>0，故＝－1或＝1－(舍)，即－＝1(n≥2)， 可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以＝n，则an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，则bn＝an＋2an＝2n－1＋22n－1， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝(1＋2n－1)＋＝n2＋. 因为Tn

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