2021山西考研数学三真题及答案

1、祝您考上理想学校 加油！2021山西考研数学三真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）好好学习 天天向上xt 32(1)当 x 0 时， 0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C. x2t 3x67x2t 37【详解】因为当 x 0 时， 0 (e -1)dt确答案为 C.= 2x(e-1) : x，所以0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小，正 ex - 1(2)函数 f (x)= x, x 0 ,在 x = 0 处1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x0x0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x11因为lim= lim=lim=，故 f (0) =，

2、正确答案为 D.x0x - 0x0x - 0x0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是a(A) (e, +) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 ， f (x) = a - b ，令 f (x) = 0 有驻点 x = b ， f b = a b - b ln b 1，可得 b e ，正确答案为 A. aa aaaa(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f (x +1, ex ) + ex f (x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f (x, x2 ) + 2xf (x, x2 ) = 4x ln x + 2xx = 0x = 1分

3、别将 y = 0 ， y = 1 带入式有f1(1,1) + f2(1,1) = 1 ， f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2联立可得 f1(1,1) = 0 ， f2(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1(1,1)dx + f2(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A = 121 ，故特征多项式为 110 l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B

4、.aT 1 1 (6) 设 A = (a,a ,a,a ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = aT ， b= 1 ， k 表示任意常数，1234 2 aT 1 3 则线性方程组 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因为 A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一组标准正交向量aT 1 组， 则 r(B) = 3 ， 又 Ba = a T a = 0 ， 所以齐次线性方程组 Bx = 0 的通解为 ka . 而4 2 44aT 3 aT 1 1 B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b ， 故 线 性 方 程 组Bx = b的 通 解123 2 123 aT 1 3 x = a1 +a2 +a3 + ka4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D. 10-1(7) 已知矩阵 A = 2-11 ，若下三角可逆矩阵 P 和上三

5、角可逆矩阵Q ，使 PAQ 为对角 -12-5矩阵，则 P ， Q 可以分别取 100 101 100 100 (A) 010 ， 013 .(B) 2-10 ， 010 . 001 001 -321 001 100 101 100 12-3(C) 2-10 ， 013 .(D) 010 ， 0-12 . -321 【答案】C.【解析】 001 131 001 10-1100 10-1100 10-1100 ( A, E) = 2-11010 0-13-210 01-32-10 -12-5001 02-6101 000-321 100 = (F , P) ,则 P = 2-10 ; 10 01 -321 -1 100 -3 010 101 F 000 000 = ，则Q = 013 .故应选 C.Q E 100 101 010 013 001 001 001(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 P(B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)(C) 若 P( A | B) P( A | B) ，则 P( A | B) P( A) .(D) 若 P( A | A U B)

6、P( A | A U B) ，则 P( A) P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【详解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) P( A | A U B) ，固有 P( A) P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.(9)设( X ,Y ) ，( X,Y ) ，L，( X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的简单随机样本，令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 ， X = n X i ， Y = n Yi ，q= X - Y 则i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q， D(q) =.ns +s22(C) E(q) q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(q) q， D(q) =.n【答案】 B【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正确答案为 B.n1-q1+q(10) 设总体 X 的概率分布为 PX = 1 =， PX = 2 = PX = 3 =，利用来自总体24的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得q的最大似然估计值为(A) 1 .3(B) .(C) 1 .(D) 5 .48

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