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高中数学干货 23个经典的不等式专题(修正版)
27页1、23个经典的不等式专题例1. 证明:; 例2. 若:,求证: ; 例3. 若:,求证:; 例4. 若:,且,求:的取值范围 ; 例5. 若:是的三边,求证: ; 例6. 当时,求证: ; 例7. 若,求的值域 ; 例8. 求函数的最大值和最小值 ; 例9. 若,求证: ; 例10.若,且,试求:的取值范围; 例11.若,且,求的最小值; 例12.若,且,求的最大值和最小值; 例13.若,且满足,求:的值;例14.求证: ; 例15.当时,求证:; 例16.求证: ; 例17.求证: ; 例18.已知:,求证: ;例19.已知:,求证: ; 例20.已知:,求证: ; 例21.已知:,求证: ; 例22.设:,求证: ; 例23.已知:,求证: . 23个经典的不等式专题解析(修正版)例1. 证明: ;证明 放缩法 .从第二项开始放缩后,进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法构建函数:,则在区间为单调递减函数.于是:从第二项开始用积分,当函数是减函数时,积分项大于求和项时,积分限为;积分项小于求和项时,积分限为. 此法称为“积分法”. 加强版 求证:证明 放缩法数学上,这种数列求和
2、叫阶级数;当时,叫无穷级数,简称级数.例2. 若:,求证:证明 公式法,即:则:,即:,即:.立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”. 琴生不等式构建函数:,则在区间为单调递增函数,且是下凸函数.对于此类函数,琴生不等式表述为:函数值的平均值不小于平均值的函数值.即:对于本题: 即:即:,即:,即:琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”. 权方和不等式若(,或)则:已知:,即:采用权方和不等式:即:,即:. 此法称为“权方和不等式”. 幂均不等式由于幂均函数随单调递增而得到幂均不等式:,即:即:,即:.此法称为“幂均不等式”.例3. 若:,求证:解析 放缩法由: 得: ,则:, 即: 故: .从一开始就放缩,然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第项,均满足,当有项累加时,不等式两个边界项乘以倍,则不等式依然成立.即:大于最小值得倍,小于最大值的倍. 另外,的最大值是,本题有些松.例4.若:,且,求:的取值范围 ;解析 解析法,令:,则上式为:,即: 故:或(舍).本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本
3、不等式由得:,即:.两正数之积为定值时,两数相等时其和最小.故:当时,为最小值.即:,即:. 拉格朗日乘数法拉格朗日函数为:当拉氏函数取极值时,;即:,即:则取极值时,代入得:即:,即:,即:故:取极值时,则:由于当时,代入得:,即:此时,. 则为最小值,故:.此法称为“拉格朗日乘数法”例5. 若:是的三边,求证:证明 单调性法构造函数,则在时,为单调递增函数.所以,对于三角形来说,两边之和大于第三边,即:那么,对于增函数有:,即: 由放缩法得:,由上式及式得:.构造函数,利用函数单调性,此法称为“单调性法”.对于两边之和大于第三边的式子,其实是“设限法”或“设界法”.例6. 当时,求证:证明 放缩法当时,都扩大倍得:,取倒数得:,裂项:,求和:,即: . 先放缩,裂项求和,再放缩.OABDCEFGH此法为“放缩法”. 积分法构建函数:,则在区间为单调递减函数.由面积关系得到:即:,即:本式实际上是放缩法得到的基本不等式,同前面裂项式.后面的证法同. 此法称为“积分法” 加强版由第1题的求证:可得:故加强版为:当时,求证:.例7. 若,求的值域.解析 向量法 设:,则:,代入向量不等式
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