专题1 培优点6 极值点偏移问题(教师版)
4页1、培优点6极值点偏移问题【要点提炼】对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)0的解为x1,x2且ax1x22.(1)解f(x)ex(1x),令f(x)0得x1;令f(x)1,函数f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,f(x)有极大值f(1),f(x)无极小值(2)证明方法一(对称化构造法)构造辅助函数F(x)f(x)f(2x),x1,则F(x)f(x)f(2x)ex(1x)ex2(x1)(x1)(ex2ex),当x1时,x10,ex2ex0,F(x)0,F(x)在(1,)上为增函数,F(x)F(1)0,故当x1时,f(x)f(2x),(*)由f(x1)f(x2),x1x2,可设x11f(2x2),又f(x1)f(x2),f(x1)f(2x2)又x11,2x22x2,x1x22.方法二(比值代换法)设0x111,则x2tx1,代入上式得ln x1x1ln tln x1tx1,得x1,x2.x1x22ln t0,设g(t)ln t(t1),g(t)0,当t1时,g(t)为增函数,g(t)g(1)0,ln t0,故x1x22.【方法总结】极值点偏移问题
2、的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论x1x22x0型,构造函数F(x)f(x)f(2x0x);对结论x1x2x型,构造函数F(x)f(x)f,通过研究F(x)的单调性获得不等式(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明【拓展训练】已知函数f(x)xln x的图象与直线ym交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)求证:x1x20得x,由f(x)0得0x,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增可设0x1x2.方法一构造函数F(x)f(x)f,则F(x)f(x)f1ln x(1ln x),当0x时,1ln x0,10,得F(x)在上是增函数,F(x)F0,f(x)f,将x1代入上式得f(x1)f,又f(x1)f(x2),f(x2),且f(x)在上单调递增,x2,x1x21,则x2tx1,代入上式得x1ln x1tx1(ln tln x1),得ln x1.x1x2ln x1ln x222ln x1ln t2ln t0.设g(t)ln t(t1),则g(t)0.当t1时,g(t)为增函数,g(t)g(1)0,ln t0.故x1x2.
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