2021年春季北师版八（下）《三角形证明》考点清单（教师版）

1、三角形的证明考点 1：等腰三角形【知识网络】（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边。腰与底边 的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角。（2） 等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的两个底角相等。2. 等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。（3） 等腰三角形的判定：1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2. 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边。 重点：等腰三角形性质及判定应用【经典例题】例 1、下列说法：有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形；如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相 等；有两个角相等的等腰三角形是等边三角形其中正确的个数有( )A1 个B2 个C3 个D4 个例 2、如图， DABC ，点 D 在 AC 上，连接 BD ， ABD = 2DBC ， ADB = 2C ， DBC = A ，则图中共有等腰三角形

2、( ) 个A0B1C2D3例 3、如图， AB = AC ， AE = EC = CD ， A = 60 ，若 EF = 2 ，则 DF = ()A3B4C5D6例 4、如图是5 5 的正方形方格图，点 A ， B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C ，连接 AC和 BC ，使DABC 是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C 的个数是()A4B5C6D7考点 2：直角三角形【知识网络】（1） 三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称 SSS).2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)（2） 直角三角形的性质：1、直角三角形两个锐角互余。2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、在直角三角形中,30 度角所对的直角边是斜边的一半。重点：直角三角形性质及判定【经典例题】例 1、下列结论正确的是()A有两个锐角相等的两个直角三角形全等B一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C两个等边三

3、角形全等D有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等例 2、在RtDABC 和RtDDEF 中， C = F = 90 ，下列条件不能判定RtDABC RtDDEF 的是()A AC = DF ， B = EC AB = DE ， AC = DFB A = D ， B = ED AB = DE ， A = D例 3、如图， BD ， CE 分别是DABC 的高，且 BE = CD ，求证： RtDBEC RtDCDB 例 4、如图（1）， AB AD ， ED AD ， AB = CD ， AC = DE ，试说明 BC CE 的理由；如图（2），若 DABC 向右平移，使得点C 移到点 D ，AB AD ，ED AD ，AB = CD ，AD = DE ，探索 BD CE的结论是否成立，并说明理由例 5、如图，已知直线 AM 过DABC 的边 BC 的中点 D ，BE AM 于 E ，CF AM 于 F 求证：DE = DF 例 6、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过 A ， B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为 D ， E ，请你在图中找出一对全等三角形

4、，并写出证明它们全等的过程例 7、如图， AB = AC ， BAC = 90 ， BD AE 于 D ， CE AE 于 E ，且 BD CE 求证： BD = EC + ED 考点 3：线段的垂直平分线【知识网络】（1） 线段垂直平分线的性质：1. 垂直平分线垂直且平分其所在线段。2. 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 重点：中垂线性质及判定1 对 1 初中数学组【经典例题】例 1、如图，DABC 中，ACB = 90 ，AD 平分CAB ，DE 垂直平分 AB ，交 AB 于点 E 若 AC = m ，BC = n ， 则DBDE 的周长为()6A. m + nB. 2m + 2nC. m + 2nD. 2m + n例 2、如图， ABC = 90 ， C = 15 ，线段 AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D ，交 BC 于 E ， D 为垂足，CE = 10 cm ，则 AB = ()A4 cmB5 cmC6 cmD不能确定例 3、如图在DABC 中 MP ， NQ 分别垂直平分 AB 、

5、AC ，若 BC 的长度为 9，则DAPQ 的周长是考点 4：角平分线【知识网络】（1） 角平分线的定义：角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平 分线。三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 角平分线的性质：1、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；2、角平分线上的点到该角两边的距离相等；3、在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上。 重点：角平分线性质及判定例 1、如图，AOC40，OD 平分AOB，OE 平分BOC，那么DOE 的度数是例 2、如图，在ABC 中，AB8，AC6，O 为ABC 角平分线的交点，若ABO 的面积为 20，则ACO的面积为（）A12B15C16D18例 3、把一副三角尺的直角顶点 O 重叠在一起，当 OB 平分AOC 时，AOD 的度数为例 4、如图，ABC 中，AB4，BC6，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，AFBC 于点 F，若DE2，则 AF 的长为（）A3B 103C 72D 1541 对 1 初中数学组

6、例 5、如图，DABC 中，BD 平分ABC ，BC 的中垂线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接CF 若A = 60 ，ACF = 48 ，则ABC 的度数为例 6、如图，在 DABC ，AD 是角平分线，AE 是中线AF 是高，如果 BC = 10cm ，那么 BE =；ABC = 40 ，ACB = 60 ，那么BAD =， DAF =10考点 1、三角形证明答案例 1、C例 2、D例 3、D例 4、C考点 2、例 1、D例 2、B例 3、【解答】证明：Q BD ， CE 分别是DABC 的高，BEC = CDB = 90 ， 在RtDBEC 和RtDCDB 中，BC = BCBE = CD ，RtDBEC RtDCDB(HL) 例 4、【解答】解：（1）Q AB AD ， ED AD ，A = D = 90 又Q AB = CD ， AC = DE ，DABC DDCE B = DCE QB + ACB = 90 ，ACB + DCE = 90 BCE = 90 ， 即 BC CE ；（2） Q AB AD ， ED AD ，A = CDE = 90 又Q AB =

7、 CD ， AD = DE ，DABD DDCE B = DCE QB + ADB = 90 ，ADB + DCE = 90 BD CE 例 5、【解答】证明：Q D 是边 BC 的中， BD = DC 又Q BE AM 于 E ， CF AM 于 F ，BDE = CDF DDBE DDCF DE = DF 例 6、【解答】解：全等三角形为： DACD DCBE 证明如下：由题意知CAD + ACD = 90 ，ACD + BCE = 90 ，CAD = BCE 在DACD 与DCBE 中，ADC = CEB = 90CAD = BCE， AC = BCDACD DCBE (AAS ) 例 7、【解答】证明：Q BAC = 90 ， CE AE ， BD AE ，ABD + BAD = 90 ， BAD + DAC = 90 ， ADB = AEC = 90 ABD = DAC Q在DABD 和DCAE 中ABD = EACBDA = E， AB = ACDABD DCAE (AAS ) BD = AE ， EC = AD Q AE = AD + DE BD = EC + ED 考点 3、例 1、A例 2、B例 3、9考点 4、例 1、 20例 2、B例 3、135例 4、B例 5、18例 6、5cm ； 40 ；10

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