(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第9章 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程 (含解析).doc

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(3)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)直线l的倾斜角为α≠，则l的斜率k＝tan_α．(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．3．直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b两点式＝不能表示平行于坐标轴的直线截距式＋＝1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)可以表示所有类型的直线常用结论1．直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．2．识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝02．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为________．答案：2x＋3y＋2＝03．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析：由题意得＝1，解得m＝1.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√二、易错纠偏(1)对倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为0的情况．1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)A． B． C． D．解析：选D．由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0考点一　直线的倾斜角与斜率(基础型)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．核心素养：数学抽象，数学运算 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A． B．∪C． D．∪(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B． (2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.【答案】　(1)B(2)∪【迁移探究1】　(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围为________．解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.答案：【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.由图可知，直线l斜率的取值范围为.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．　 1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．　解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：42．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．解析：当α∈时，k＝tan α∈；当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．综上得k∈[－，0)∪.答案：[－，0)∪考点二　直线的方程(基础型)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．核心素养：数学运算 (1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．(2)若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．【解析】　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.【答案】　(1)4x＋3y－13＝0(2)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意]　(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.　 1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：选C．由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.2．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________．解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝0考点三　直线方程的综合应用(综合型)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值． (一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【解】　法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二：设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：由本例法二知，＋＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　 　已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)段AB上，则ab的最大值为________．解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.答案：[基础题组练]1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A．x－y＋1＝0　　　　 B．x－y－＝0C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0解析：选D．由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.3．(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　)A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0解析：选AC．当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A。