(新高考)高考数学一轮复习过关练考点27 椭圆的综合问题 （含解析）.doc

考点27 椭圆的综合问题考纲要求1、 掌握直线与椭圆的关系，能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题·2、 掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略3、 掌握圆锥曲线中定点、定值等问题近三年高考情况分析解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力 考点总结解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利三年高考真题1、【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A．2、【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】【解析】设，，由得，，所以，因为，在椭圆上，所以，，所以，所以，与对应相减得，，当且仅当时取最大值．3、【2019年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．所以，椭圆的方程为．（2）由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．由，得，化简得，从而．所以，直线的斜率为或．4、【2020年北京卷】.已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．【解析】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且：，注意到：，而：，故.从而.5、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【解析】（1）∵椭圆的方程为∴,由椭圆定义可得：.∴的周长为（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，∴∵准线方程为∴∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.（3）设，点到直线的距离为.∵，∴直线的方程为∵点到直线的距离为，∴∴∴①∵②∴联立①②解得，.∴或.6、【2020年全国1卷】0.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，，，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点7、【2020年全国2卷】.已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.8、【2020年天津卷】.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．【解析】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或.将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.9、【2020年浙江卷】.如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（Ⅱ）设，由，，由在抛物线上，所以，又，，， .由即，所以，，，所以，的最大值为，此时.法2：设直线，.将直线的方程代入椭圆得：，所以点的纵坐标为.将直线的方程代入抛物线得：，所以，解得，因此，由解得，所以当时，取到最大值为.10、【2020年山东卷】.已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解析】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点.因为AM⊥AN，∴，即,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得： ②,根据,代入①整理可得： 将②代入，，整理化简得,∵不在直线上，∴，∴，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,解得,此时直线MN过点, 由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.二年模拟试题题型一、椭圆与圆的结合问题1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）A．C的焦距为 B．C的离心率为C．圆D在C的内部 D．的最小值为【答案】BC【解析】 ，，则C的焦距为，.设（），则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.2、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题）设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则， 即，∴当 时，，故的最大值为.故选C.3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆的标准方程为，若斜率为1的直线与椭圆相切同时亦与圆（为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为，则__________．【答案】【解析】设切线方程为，代入椭圆方程可得：.因为相切，由直线与圆相切，可得：，或（舍去）.则有，因为，所以可得.故答案为：.4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小.【答案】(1) (2) ，.【解析】（1）由得，又∵短轴长为2可得，，∴椭圆的标准方程为：.（2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设直线的方程为：，则联立，消元得：，，即.设，，∴，，由题意可知，即：，∴，解得，∴.综上：直线的方程为：，.题型二、椭圆中的直线问题1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】 (1)由内切圆的性质可知，，，.所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).设曲线则，即所以曲线的方程为.(2)因为轴，所以，设，所以，所以，则因为，所以，所以所以，所以设则，所以①直线斜率不存在时， 方程为此时，不符合条件舍去.②直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立，得所以，将代入得，所以.所以，所以直线的方程为或.2、(2019苏州期初调查）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．规范解答 (1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(3分)又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.(5分)所以椭圆的标准方程为＋＝1.(6分)(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立方程组消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.(8分)因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.(10分)即＝.　①又因为M(x1，y1)，N(x2，y。