高考数学二轮专题学与练 09 等差数列、等比数列（考点解读）（含解析）.doc

专题9 等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．等比数列(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；(2)通项公式：an＝a1qn－1；(3)前n项和公式：Sn＝(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算例1、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)A．－3　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．3(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．【解析】(1)两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.(2)法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.∴a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，∴d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，∴a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.【答案】(1)D　(2)20【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)A. B. C．10 D．12(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)A. B. C．1 D．2【解析】(1)由S8＝4S4，公差d＝1，得8a1＋×1＝4×，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝.(2)由题意得S4＝＝9，∴＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝，得aq3＝.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为＝＝·＝＝2.【答案】(1)B　(2)D高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明 例2、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.(I)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；(II)求{an}和{bn}的通项公式.【答案】(I)见解析；(2)，.【解析】(1)由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，，．所以，．【举一反三】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，∴＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.(2)【解析】由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，∴－＝2(n≥2，n∈N*)，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)【解析】由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，∴an＝高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用例3、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．(Ⅰ)求和的通项公式；(Ⅱ)设数列满足其中．(i)求数列的通项公式；(ii)求．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)(ii)【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．所以，的通项公式为的通项公式为．(Ⅱ)(i)．所以，数列的通项公式为．(ii)．【变式探究】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．【解析】(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式．(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？【解析】(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，∴an＝0(n≥1)．若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，∴an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.(2)当a1>0且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.∴数列{bn}是单调递减的等差数列{公差为－lg2}．b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg