高二数学棱柱例题解析人教版-9页.pdf

用心爱心 专心122 号编辑1 高二数学棱柱例题解析人教版一. 本周教学内容：棱柱1. 棱柱的概念与性质2. 直棱柱是特殊的棱柱，具有棱柱的性质且还有自身的特点：（1）侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高；（2）侧面是矩形；（3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（4）过不相邻的两条侧棱的侧面（对角面）是矩形长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和3. 特殊的四棱柱：平行六面体平行六面体的概念与性质【典型例题 】例 1. 斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC 都成 45 角，求这个三棱柱的侧面积用心爱心 专心122 号编辑2 分析： 求斜棱柱的侧面积一般有两种方法一是定义法，一是公式法解 1： AA1和底面 AB、 AC 成等角，且为45 角A1在底面 ABC 上的射影在 BAC 的平分线AG 上又ABC 为正三角形AG BCA1A 在底面 ABC 上的射影在AG 上BCA1A 又 A1AB1B B1BBC，即侧面B1BCC1为矩形SB1BCC1B1B BCab 又侧面 A1ABB1和侧面 A1ACC1都是平行四边形，全等。

解 2：过点 B，在侧面ABB1A1内，作 BM A1A，连结 CM在ABM 和ACM 中， AB AC ， MAB MAC 45 ，MA 为公共边 ABM ACM AMC AMB 90A1A截面 BMC ，即截面BMC 为斜三棱柱的直截面说明： 本题是棱柱侧面积公式的正面应用，公式正用的关键是创造公式中的应用条件，比如作直截面，并确定其周长C1就是为了创造这种条件例 2. 如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中， EBB1，截面 A1EC侧面 AC11）求证： BE EB1 （2）若 AA1 A1B1，求平面A1EC 与平面 A1B1C1所成二面角（锐角）的度数分析： （ 1）着眼点：空间线面关系及正三棱柱性质的应用证明： 在截面 A1EC 内，过 E 作 EG A1C，G 是垂足，如图用心爱心 专心122 号编辑3 面 A1EC面 AC1， EG侧面 AC1取 AC 的中点 F，分别连结BF 和 FC，由 AB BC 得 BFAC 面 ABC 侧面 AC1， BF侧面 AC1，得 BF EGBF 和 EG 确定一个平面，交侧面AC1于 FGBE侧面 AC1，BEFG，四边形BEGF 是，BE FG。

BEAA1， FGAA1， AA1C FGC分析： （ 2）着眼点：构造二面角的平面角关键：确定二面角的棱解： 如图，分别延长CE 和 C1B1交于点 D，连结 A1D B1A1C1 B1C1A160 DA1C1 DA1B1 B1A1C1 90 ，即 DA1A1C1 CC1面 A1C1B1，即 A1C1是 A1C 在平面 A1C1D 上的射影， 由三垂线定理得DA1A1C，所以 CA1C1是所求二面角的平面角且A1C1C90 CC1AA1A1B1A1C1， CA1C145 ，即所求二面角为45 如果改用面积射影定理，则还有另外的解法另解： 设ABC 的边长为a，截面 A1EC 和底面所成二面角为 ，CC1AA1A1B1a 用心爱心 专心122 号编辑4 0 90 ， 45 即平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成角为45 例 3. 如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4E，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF BDG. （）求证：平面B1EF平面 BDD1B1；（）求点D1到平面 B1EF 的距离 d；本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

证法一：连结AC 正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是正方形，ACBD ，又 ACD1D，故 AC 平面 BDD1B1. E， F分别为 AB，BC 的中点，故EFAC ，EF平面 BDD1B1，平面 B1EF平面 BDD1B1. 证法二：BEBF， EBD FBD 45 ， EFBD. 又 EFD1D EF平面 BDD1B1，平面 B1EF平面 BDD1B1（）在对角面BDD1B1中，作 D1HB1G，垂足为H 平面 B1EF平面 BDD1B1，且平面 B1EF平面 BDD1B1B1G，D1H平面 B1EF，且垂足为H，点 D1到平面 B1EF 的距离 dD1H. 解法一： 在 RtD1HB1中， D1HD1B1 sinD1B1H. 用心爱心 专心122 号编辑5 422221111BABD174144sinsin2211111GBBBGBBHBD17171617441HDd解法二： D1HB1B1BG，GBBDBBHD111111717161442221211GBBBHDd解法三： 连结 D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即21112121BBHDGB.1717161211GBBBHDd【疑难解析】1. 棱柱的概念及其与各种特殊的棱柱的包含关系是学习的难点；棱柱有两个本质特征，一个是有两个平面互相平行，一个是其余各面每相邻两个公共边都互相平行。

用集合的关系比较容易理解棱柱与特殊棱柱及其之间的关系：棱柱直棱柱斜棱柱； 直棱柱正棱柱棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体棱柱概念、性质结构的“ 纽带 ” 是“ 化归 ” 方法，无论是定义还是性质，都是把它们转化为已熟悉的直线、平面的位置关系，棱柱主要侧面、对角面、底面和平行底面的截面及侧棱的性质2. 正确计算棱柱的侧面积是本节的又一难点，侧面与侧面积是两个不同的概念，侧面积等于所有侧面面积之和模拟试题】用心爱心 专心122 号编辑6 1. 设 M 直平行六面体 ，N 长方体 ，P正四棱柱 ，Q直四棱柱 ，这些集合间的关系是（）2. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，对角线BD1与面 ABCD 、面 CDD1C1、面 ADD1A1成角分别记为 ， ， ，则 cos2 cos2 cos2 _A. 1 B2 C. 0.5 D. 不是定值，与一个顶点上三条棱的长度有关3. 正三棱柱ABC A1B1C1中，求证：（1）若 AB1 BC1，则 A1CBC1； （2）若 AB1与 BC1成 角，则 A1C 与 BC1也成 角4. 如图，已知正棱柱ABCD A1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面EACD1B，且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为45 ，AB .。

求截面EAC 的面积；（）求异面直线A1B1与 AC 之间的距离5. 如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱 AA12，D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的垂心 G. （）求A1B 与平面 ABD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）；（）求点 A1到平面 AED 的距离用心爱心 专心122 号编辑7 参考答案 1. 解： 对于特殊的几类四棱柱之间的区别与联系应熟练掌握答案： D2. 解： 由长方体性质可知DD1平面 ABCD ，连结 BD ，可知 BD 是 BD1在平面 ABCD 上的射影，则角D1BD 为 BD1与平面 ABCD 成角cos2 cos2 cos2 2 答案： B3. 解： （1）如图（ 1） ，取 BC 中点 D，B1C1中点 D1，连结 B1D，CD1 ABC ， A1B1C1是正三角形，AD BC，A1D1B1C1又本题棱柱是正棱柱，侧棱与底面垂直，BB1AD ， BB1A1D1，AD 面 BCC1B1，A1D1面 BCC1B1，B1D 和 CD1分别是 AB1和 CA1在面 BCC1B1内的射影AB1BC1， B1DBC1D，D1分别是 BC， B1C1的中心， BCC1B1是矩形，B1DCD1， CD1BC1，A1CBC1（2）设 E 为 AC 中点， O 为 BC1中点， F 为 A1B1的中点，如图（ 2） ，连结 EB，EO，FO，FC1，则 OEAB1，OFA1C，故 BOE 等于 BC1与 AB1所成之角， C1OF 等于 BC1与 A1C所成之角。

AB12OE，A1C2OF，而 AB1A1C，OEOF，又BEC1F，OBOC1， BOE C1OF， BOE C1OF，故 BC1与 AB1所成之角等于BC1与 A1C 所成之角，都是4. （1）解： 如图，连结DB 交 AC 于 O，连结 EO用心爱心 专心122 号编辑8 底面 ABCD 是正方形DOAC又 ED底面 AC ，EOAC EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角 EOD45 DOa22，AC a2，Eo2 a sec45 /2a. 故 S EAC2 a2/2 （2）解： 由题设 ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面 AC， A1AAC 又 A1AA1B1， A1A 是异面直线A1B1与 AC 间的公垂线D1B面 EAC ，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO， D1BEO又 O 是 DB 的中点，E 是 D1D 的中点， D1B2ED2a异面直线 A1B1与 AC 间的距离为2 a5.（） 解： 连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角设 F 为 AB 中点，连结EF、 FC，D、E、分别是CC1、A1B 的中点又DC平面 ABC ，CDEF 为矩形连结 DE，G 是ADB的重心GDF，在直角三角形EFD 中313122FDEFFDFDFGEF，于是363212EGEF，3322221EBBAABCDFC，323136sinEBEGEBGBA1与平面 ABD 所成的角是32arcsin用心爱心 专心122 号编辑9 （）连结A1D，有EAADAEDAVV11,FABEFEFEDABED又ABAED1平面, 设 A1到平面 AED 的距离为h，则EDShSABAAED1362h故 A1到平面 AED 的距离为362。