2018-2019学年人教b版必修2 2.2.3 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件 学案.docx

2.2.3　两条直线的位置关系第1课时　两条直线相交、平行与重合的条件学习目标　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点　两条直线相交、平行与重合的条件思考1　直线l1：2x＋3y－6＝0与直线l2：3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的？答案　由得∴l1与l2相交．思考2　直线l3：2x＋3y－2＝0与直线l4：4x＋6y＋3＝0的位置关系是怎样的？答案　＝≠，∴l3∥l4.梳理　两条直线相交、平行与重合的判定方法(1)代数法两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组的解进行判断(如表所示)：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或＝≠(A2B2C2≠0)有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)(2)几何法设直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则：①l1与l2相交⇔k1≠k2；②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　√　)2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　×　)类型一　两条直线位置关系的判定例1　判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋；(3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2；(4)l1：x＝5，l2：x＝6.解　(1)A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1.因为≠，所以l1与l2相交．(2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4；把l2化为x－3y＋2＝0，所以A2＝1，B2＝－3，C2＝2.因为＝＝，所以l1与l2重合．(3)A1＝－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2.因为＝≠，所以l1与l2平行．(4)A1＝1，B1＝0，C1＝－5；A2＝1，B2＝0，C2＝－6，因为A1B2－A2B1＝0，而A2C1－A1C2≠0，所以l1与l2平行．反思与感悟　两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)，则两直线相交．(2)若A1A2＋B1B2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或(B1C2－B2C1≠0)或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1　已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？解　因为直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.(1)若l1与 l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，即m2－2m－3≠0，所以(m－3)(m＋1)≠0，解得m≠3且m≠－1.故当m≠3且m≠－1时，直线l1与l2相交．(2)若l1∥l2，则有即即解得所以m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行．(3)若l1与l2重合，则有即解得所以m＝3.故当m＝3时，直线l1与l2重合．类型二　两条直线平行的应用例2　(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．解　(1)方法一　已知直线的斜率为－，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－.由点斜式，得所求直线的方程为y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.方法二　设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)．∵l经过点A(1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线的斜率为k＝＝1.∵所求直线经过点P(3,2)，∴所求直线方程为y－2＝x－3即x－y－1＝0.反思与感悟　(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2　若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程．解　设直线l的方程为2x＋3y＋C＝0，令x＝0，得y＝－，令y＝0，得x＝－.由题意，得－－＝，解得C＝－1.所以直线的方程为2x＋3y－1＝0.类型三　两条直线的交点问题例3　求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．解　方法一　解方程组得∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为＝，即2x－y＝0.方法二　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线过原点(0,0)，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0.反思与感悟　利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3　三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0，ax＋3y－5＝0只有两个不同的交点，则a＝________.答案　3或－6解析　当直线ax＋3y－5＝0与x＋y＋1＝0平行时，a＝3.当直线ax＋3y－5＝0与2x－y＋8＝0平行时，＝≠，得a＝－6，∴a＝3或a＝－6.1．直线Ax＋4y－1＝0与直线3x－y－C＝0重合的条件是(　　)A．A＝12，C≠0 B．A＝－12，C＝C．A＝－12，C≠－ D．A＝－12，C＝－答案　D解析　由l1与l2重合，则＝＝，从而A＝－12，C＝－.2．直线2x－y＋k＝0和直线4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合答案　C解析　当k＝时，两直线重合，当k≠时，两直线平行．3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)A．－8 B．0C．2 D．10答案　A解析　由－2＝，得m＝－8.4．过点(－1，－3)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为________________________．答案　2x＋y＋5＝0解析　设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，将点(－1，－3)代入方程，2×(－1)－3＋C＝0，得C＝5.∴直线方程为2x＋y＋5＝0.5．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．解　设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.所以解得所以点D的坐标为(3,4)．两条直线相交、平行与重合的条件两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或＝≠(A2B2C2≠0)有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)一、选择题1．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　)A．－24 B．6C．±6 D．以上都不对答案　C解析　联立两条直线的方程，得解得x＝.∵两直线的交点在y轴上，∴＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．2．已知直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则m的值等于(　　)A．－18 B．－2C．2 D．18答案　C解析　由＝≠，得m＝2.3．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是(　　)A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0 D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0答案　B解析　根据两直线平行的判定条件知，A不正确，B正确，对于C、D，当a≠0时，ax－ay－a＝0与直线x－y－1＝0重合；当a＝0时，ax－ay－a＝0不是直线方程．4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(　　)A．6 B.C．2 D．不能正确答案　B解析　由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝＝＝.5．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　)A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0答案　B解析　∵与直线4x＋3y－3＝0平行，∴A，D不正确．对于C选项，直线过，(0,14)两点，则直线过第一象限．∴C不正确，故选B.6．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　B解析　由方程组得两直线的交点坐标为.因为0＜k＜，所以＜0，＞0，所以交点在第二象限．7．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　)A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线答案　A解析　(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由得8．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　)A．1 B. C. D．1或答案　D解析　由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或.二、填空题9．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为______________．答案　8x＋16y＋21＝0解析　由得交点坐标为.又l3的斜率为－，∴所求直线方程为y＋＝－，即8x＋16y＋。