复变函数论第三版钟玉泉第一章.ppt

复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数复数第第二节二节 复平面上的点集复平面上的点集第三节第三节 复变函数复变函数第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点9/17/20241复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院第一节第一节 复数复数1. 虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :一、复数的概念一、复数的概念虚数单位的特性虚数单位的特性:2.复数复数:9/17/20242复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别相等它们的实部和虚部分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时等于它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小注：实数可以比较大小,但但复数不能比较大小复数不能比较大小.二、复数的代数运算二、复数的代数运算1. 两复数的代数和两复数的代数和:2. 两复数的积两复数的积:3. 两复数的商两复数的商:4. 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. .9/17/20243复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院6. 共轭复数的性质共轭复数的性质:例例1 解解5. 复数域复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域成一个复数域, ,记作记作C.实数域和复数域都是代数学实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例中所研究的域的概念的实例. .9/17/20244复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 证证例例3 解解 设设9/17/20245复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院三、复平面三、复平面1. 复数的模复数的模显然下列各式成立显然下列各式成立9/17/20246复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院2. 复数的辐角复数的辐角辐角不确定辐角不确定.辐角主值的定义辐角主值的定义:9/17/20247复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差4. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.9/17/20248复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式9/17/20249复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1解解6.6.复数在几何上的应用举例复数在几何上的应用举例 下面例子表明下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方很多平面图形能用复数形式的方程程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形。

来确定它所表示的平面图形9/17/202410复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解化简后得化简后得9/17/202411复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.乘积与商乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. .从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为注注 由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.9/17/202412复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.2.幂与根幂与根 n次幂次幂:9/17/202413复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院棣莫佛公式棣莫佛公式推导过程如下推导过程如下:棣莫佛公式根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式, 9/17/202414复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 从几何上看从几何上看, 9/17/202415复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1解解即即9/17/202416复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念定义定义1.1 邻域邻域:记作记作: 或或N (z0)={z | |z-z0|< }记作记作 N 0(z0)={z | 0<|z-z0|< }第第二节二节 复平面上的点集复平面上的点集9/17/202417复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.2 聚点、外点、孤立点聚点、外点、孤立点 如果如果z0属于属于E ，，但但不是不是E的聚点，则称的聚点，则称z0为为E的孤立点的孤立点. . 如果如果z0不属于不属于E ，，又又不是不是E的聚点，则称的聚点，则称z0为为E的外点的外点. .z0为为E的孤立点的孤立点 >0: N (z0)E={z0}z0为为E的外点的外点  >0: N (z0)E= 9/17/202418复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.3 内点、开集、边界点、边界、闭集内点、开集、边界点、边界、闭集: 如果如果E内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末E称为开集称为开集. .如果在如果在z0的任意一个邻域内的任意一个邻域内,都有都有属于属于 E 的的点点,也有也有不属于不属于E的点的点,则称则称z0为为E的边界点。

的边界点z0为为E的内点的内点  >0: N (z0)E点集点集E的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E的边界的边界. .记为记为: : E E若点集若点集E的每个聚点都属于的每个聚点都属于E, ,则称则称E为闭集；为闭集；任何集合任何集合E的闭包的闭包 一定是闭集一定是闭集. .9/17/202419复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集:zxy有界！有界！o例例1 圆盘圆盘N (z0)={z | |z-z0|< }是有界开集；是有界开集；闭圆盘闭圆盘是有界闭集是有界闭集例例2 集合集合 ,圆心圆心它是它是 的孤立点，是的孤立点，是集合集合 的聚点9/17/202420复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.5 区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它为一个区域则称它为一个区域. .(1) D是一个是一个开集开集；；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点中任何两点都可以用完全属于都可以用完全属于D的一条折线连的一条折线连结起来结起来. D加上加上D的边界称为的边界称为闭域闭域。

1.2.2 区域与区域与Jordan曲线曲线记为记为 D＝＝D+ D z1z2D说明说明 (2) 区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成. (1) 区域都是开的区域都是开的.以上基以上基本概念本概念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界9/17/202421复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.6 连续曲线连续曲线:平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示:C的实参数方程的实参数方程C的的复参数方程复参数方程起点起点z( )C终点终点z( )zxyCC的正向：起点的正向：起点终点终点o9/17/202422复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简称为简单曲线单曲线( (或若当或若当(Jordan)曲线曲线).).重点重点重点重点重点重点换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单曲线是简单曲线是z平面上的一个有界闭集平面上的一个有界闭集. 9/17/202423复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质若当若当(Jordan)定理定理 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 C C 将复平面唯一将复平面唯一地分成地分成C C, ,I I( (C C),),E E( (C C) ) 三三个互不相交的点集个互不相交的点集. .满足：满足：I(C)E(C)边界边界（（1））I I( (C C) ) 是一个有界区是一个有界区域（称为域（称为C C的内部）的内部）. .（（2））E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. .（（3）若简单折线）若简单折线P的一个端点属于的一个端点属于I(C)，另一个，另一个端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. .（（4））C是是I(C)，，E(C) 的公共边界的公共边界. .9/17/202424复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.7 可求长曲线可求长曲线:设连续弧设连续弧C的参数方程为的参数方程为:任取实数列任取实数列考虑考虑C上对应点列上对应点列将它们用一折线将它们用一折线 连接起来，连接起来， 有上界，则称有上界，则称C为为可求长的可求长的，上确界称为，上确界称为C的长度。

的长度 的长度为的长度为 若对所有数列若对所有数列 ，，光滑曲线光滑曲线C:特特点点 （（1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线 （（2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长9/17/202425复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为分段光滑曲线分段光滑曲线. .分段光滑曲线必是可以求长的，但简单分段光滑曲线必是可以求长的，但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长曲线或简单闭曲线却不一定可求长单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单如果在其中任作一条简单闭曲线闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一一个区域如果不是单连通域个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域简单闭曲线的方向：简单闭曲线的方向：沿着一条简单闭曲线沿着一条简单闭曲线C前行前行时，时，C的内部总在左侧，此方向称为曲线的内部总在左侧，此方向称为曲线C的正向，的正向，否则，称为负向。

否则，称为负向oxy9/17/202426复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).是角形域是角形域,无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).9/17/202427复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院无界的多连通域无界的多连通域. 表示到表示到1, –1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.9/17/202428复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院有界的单连通域有界的单连通域.9/17/202429复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.定义定义:第三节第三节 复变函数复变函数2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:3.函数的定义域和值域函数的定义域和值域:1.3.1 1.3.1 复变函数的定义复变函数的定义复变函数的定义复变函数的定义4. 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系:9/17/202430复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.3.2 映射的概念1. 引入引入:2.映射的定义映射的定义:9/17/202431复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.3.2 映射的概念xuGG*Z平面zwW=f(z)vyW平面9/17/202432复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3. 几个特殊的映射几个特殊的映射:且是全同图形且是全同图形.9/17/202433复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院根据乘法公式根据乘法公式, 映射映射9/17/202434复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院由于w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,于是 u = x2-y2, v = 2xyxyOz1z2w2z3w3w1uvO9/17/202435复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形同一个长方形.uv9/17/202436复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院9/17/202437复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院4. 反函数的定义反函数的定义:根据反函数的定义根据反函数的定义,当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射.9/17/202438复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.3.3 复变函数的极限复变函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:注意注意: :9/17/202439复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院2. 极限的计算性质极限的计算性质定理一定理一证证(1) 必要性必要性.有有9/17/202440复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院(2) 充分性充分性.则对于任意则对于任意[证毕证毕]9/17/202441复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理二定理二与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.9/17/202442复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院证证 (二二)例例1 1证证 (一一)根据定理一可知根据定理一可知,9/17/202443复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 2证证根据定理一可知根据定理一可知,9/17/202444复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1. 连续的定义连续的定义: 连续的连续的三要素三要素:（（1）） f(z)在在z0处有定义处有定义 （（2））f(z)在在z0处有极限处有极限 （（3））f(z)在在z0处的极限值处的极限值等于函数值等于函数值1.3.4 复变函数的连续性复变函数的连续性9/17/202445复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理定理1.3例如例如,2. 连续函数的性质连续函数的性质9/17/202446复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院特别地，特别地，(1) 有理整函数有理整函数(多项式多项式)(2) 有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.例例1 证证 设设 由于由于9/17/202447复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3.有界闭集上连续函数的性质有界闭集上连续函数的性质>0, >0, z1, z2 E,当当|z1- z2|< 时时,有有|f(z1)-f(z2)|< .定理1.71.7 设E是有界闭集，是有界闭集，f(z)C(E),则有：则有：（（1）） f(z)在在E上上有界有界：：（（2）） |f(z)|在在E上有上有最大（小）值最大（小）值，， 即：即：（（3）） f(z)在在E上上一致连续一致连续，即，即例例2 2证证9/17/202448复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院4. 复变函数的极限性质复变函数的极限性质定理定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理聚点定理) 每一个每一个有界无穷点集至少有一个聚点。

有界无穷点集至少有一个聚点定理定理2(闭集套定理闭集套定理)定理定理3(Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理)9/17/202449复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院一、复球面一、复球面1. 南极、北极的定义南极、北极的定义第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点2. 复球面的定义复球面的定义 球面上的点球面上的点, 除除去北极去北极 N 外外, 与复平与复平面内的点之间存在着面内的点之间存在着一一对应的关系一一对应的关系. 我我们可以用球面上的点们可以用球面上的点来表示复数来表示复数.xyONSzP(z)z9/17/202450复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.规定规定: : 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的““无穷大无穷大””与复平面上与复平面上的无穷远点相对应的无穷远点相对应, ,记作记作 . . 因而球面上的北极因而球面上的北极N就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示. .以上对应可以用公式表示为：以上对应可以用公式表示为：9/17/202451复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, ,简称复平面简称复平面. .复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.4. 无穷远点无穷远点关于无穷远点关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于模等于:它和有限复数的基本运算为：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义这些运算无意义：9/17/202452复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院二二. 扩充复平面上的几个概念扩充复平面上的几个概念1 无穷远点的邻域:无穷远点的去心邻域:注2 在扩充复平面上单连通区域:解例1注注 考虑一个无界区域是否为单连通考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上应看在通常的复平面上还是扩充复平面上。

还是扩充复平面上9/17/202453复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3 广义极限与广义连续广义极限广义连续例2证明由于9/17/202454。