几何概率知识讲解.ppt

几何概型 复习提问 1 古典概型的两个特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 2 计算古典概型的公式 那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢 问题 下图是卧室和书房地板的示意图 图中每一块方砖除颜色外完全相同 甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去 并随意停留在某块方砖上 问 卧室 在哪个房间里 甲壳虫停留在黑砖上的概率大 试试看 卧室 书房 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向黄色区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 2 甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与区域的位置无关 在转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关 与图形的大小无关 问题 甲获胜的概率与区域的位置有关吗 与图形的大小有关吗 甲获胜的可能性是由什么决定的 1 2 3 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 geometricmodelsofprobability 简称几何概型 几何概型 几何概型的公式 几何概型的特点 试验中所有可能出现的基本事件有无限个每个基本事件出现的可能性相等 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件发生的可能性都是相等的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 古典概型的特点 a 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 b 每个基本事件出现的可能性相等 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 一 长度型 分析 假设他在0 60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的 但0 60之间有无穷个时刻 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率 因为电台每隔1小时报时一次 他在0 60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的 所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关 而与该时间段的位置无关 这符合几何概型的条件 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率公式得P A 60 50 60 1 6 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 一 长度型 练习1 取一根长为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大 解 如上图 记 剪得两段绳子长都不小于1m 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一 所以事件A发生的概率P A 1 3 3m 2 公车5分钟一趟 求等待时间不超过3分钟的概率 3 设有一个均匀的陀螺 在其圆周的一半上均匀的刻上区间 0 1 上的诸数字 另一半上均匀的刻上区间 1 3 的诸数字 所有的数字均按大小排列 且0与3重合 旋转陀螺 求它停下时 其圆周上触及桌面的刻度为于 0 5 1 5 上的概率 二 面积型 例2 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 解 以横坐标x表示报纸送到时间 以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 x y 可以看成平面上的点 试验的全部结果所构成区域 即图中的阴影部分 面积为 这是个几何概型 所以 面积为 事件A 父亲在离开家前能拿到报纸 所构成的区域 练习 在区间 2 2 上任意取两数a b 求二次方程 有实数根的概率 二 面积型 试验的全部结果所构成的区域为 事件A表示二次方程x2 ax b2 0有实数根 所构成的区域为 即图中阴影部分 所以P A b a 例3有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 分析 细菌在这升水中的分布可以看作是随机的 取得0 1升水可作为事件的区域 解 取出0 1升中 含有这个细菌 这一事件记为A 则 三 体积型 练习 1 在棱长为3的正方体体内任意取一个点 求这个点到各面的距离大于棱长的概率 三 体积型 四 角度型 例4 在直角坐标系内 射线OT落在60 的终边上 任作一条射线OA 则射线落在 xOT内的概率是 0 x y T 60 A 练习 1 在等腰直角 ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM的长小于AC的长的概率 2 在等腰直角 ABC中 过直角顶点C在 ACB内部任作一条射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 探究规律 公式 3 公式 2 公式 1 一个路口的红绿灯 红灯的时间为30秒 黄灯的时间为5秒 绿灯的时间为40秒 当你到达路口时 看见下列三种情况的概率各是多少 1 红灯 2 黄灯 3 不是红灯 练习1 口答 练习2 1 在500ml的水中有一个草履虫 现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察 则发现草履虫的概率是 A 0 5B 0 4C 0 004D 不能确定 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立概率模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概型的问题 利用几何概型公式求解 解题方法小结 课堂小结 1 几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型 2 几何概型主要用于解决长度 面积 体积有关的题目 3 注意理解几何概型与古典概型的区别 4 理解如何将实际问题转化为几何概型的问题 利用几何概型公式求解 作业 137页A组1 2题 谢谢 。