微专题四　一线三等角模型.pptx

第四章三角形第四章三角形微专题四一线三等角模型微专题四一线三等角模型2考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过1.定义：一线三等角是一个常见的模型，指的是有三个相等的角的顶点在同一条直线上构成的相似（或全等）图形，也可称为“K形图”或“M形图”.2.一线三等角的性质（1）一般情况下，由一条直线上三个相等的角，易得两个相似三角形；（2）当等角所对的边相等时，相似的两个三角形全等.注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.3考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过3.构造一线三等角的基本步骤做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.4考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过 类型条件图示结论一线三等角（不包含直角）同侧型（三个等角都在直线的同侧）点P段AB上，123，三个角在AB同侧ACPBPD点P段AB上，123，P是AB的中点ACPBPDPCD5考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过类型条件图示结论一线三等角（不包含直角）异侧型（三个等角分居在直线的两侧）点P在射线AB上，123，三个角在AB两侧ACPBPD6考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过一线三直角特别地，当12390时，为一线三直角模型ACPBPD.特殊地，当PCPD时，ACPBPD7考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过 类型1：一线三等角（不包含直角）【例1】【问题发现】如图1，直线m经过点A，已知ABAC，BACBDAAEC（090），则线段DE、BD、CE之间的数量关系是DEBDCE；【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90180，则线段DE、BD、CE之间的数量关系是DEBDCE；【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，BACBDAAEC，请问线段AD、BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.DEBDCEDEBDCE8考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过 思路点拨（2）同（1）易得DEBDCE9考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过10考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过类型2：一线三直角【例2】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于点D，BEMN于点E.图1 图2（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DEADBE.（2）当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DEADBE.11考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过（3）当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明.图312考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过 思路点拨13考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过证明证明：（：（1）ADMN于点于点D，BEMN于点于点E，ADCBECACB90，ACDDAC90，ACDBCE90，DACBCE.又又ACBC，ADCCEB（AAS）；）；由由知知，ADCCEB，ADCE，CDBE.DECECDADBE.图114考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过证明证明：（：（2）ADMN于点于点D，BEMN于点于点E，ADCBECACB90，CADACD90，ACDBCE90，CADBCE.又又ACBC，ADCCEB（AAS），），ADCE，CDBE，DECECDADBE.图215考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过证明证明：（：（3）DEBEAD（或或ADBEDE，BEADDE）.图316考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过 类型1：一线三等角（不包含直角）1.已知：如图，在ABC中，BAC90，ABAC1，D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），ADE45.（1）当DEC120时，求BDA的度数；17考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过解解：（：（1）BAC90，ABAC，BC45.ADC是是ABD的外角的外角，ADCBAD45.又又ADCCDE45，BADCDE，ABDDCE，BDADEC120.18考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过（2）设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式.19考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过20考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过21考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过类型2：一线三直角22考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；23考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过24考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过（2）若OD1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；解解：（：（2）CDAB，设直线设直线CD的解析式为的解析式为yxm.又又OD1，点点D在在x轴的正半轴上轴的正半轴上，点点D的坐标为的坐标为（1，0）.将将D（1，0）代入代入yxm，得得m1.直线直线CD的解析式为的解析式为yx1.对于对于yx1，当当x0时时，y1，C（0，1）.25考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过以点以点A，B，C，D构成的四边形是矩形构成的四边形是矩形.理由如下理由如下：A（3，2），），B（2，3），），C（0，1），），D（1，0），），又又ABCD，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.如图如图1，过点过点B作作BEy轴于点轴于点E，则则E（0，3）.CEOEOC2，BE2，BEC和和COD都为等腰直角三角形都为等腰直角三角形，ECBOCD45，BCD90，ABCD是矩形是矩形.26考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过解解：（：（3）当当MAD90时时，如图如图2，作作PDx轴轴，过过A点作点作PQx轴轴，QMPQ于点于点Q.ADM是等腰直角三角形是等腰直角三角形，ADAM.又又PADPDA90，PADQAM90，PDAQAM.27考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过APDMQA（AAS）.AQPD2，28考点一题过考点一题过考点一题过考点一题过当当AMD90时时，如图如图3，过过M点作点作PQx轴轴，作作APPQ.同理同理，可证得可证得APMMQD，MQAP.得得t（3t）6，。