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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2） ； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况 + ∞∫∞+adxx)(ϕ∫∞+adxxf)(解 解 （1） 定理 8.2.2 （比较判别法）定理 8.2.2 （比较判别法） 设在[ ,)a + ∞上恒有)()(0xKxfϕ≤≤，其中K是正常数则 当收敛时也收敛； ∫∞+adxx)(ϕ∫∞+adxxf)(当发散时也发散 ∫∞+adxxf)(∫∞+adxx)(ϕ证证 当收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∫∞+adxx)(ϕ0>∀ε ，，aA ≥∃00,AAA≥′∀：KdxxAAεϕ∃ε，，aA ≥∀00,AAA≥′∃：εKdxxfAA≥∫′)( 于是 ≥∫′AAdxx)(ϕ0)(1ε≥∫′AAdxxfK， 所以也发散 ∫∞+adxx)(ϕ（2）设在[ ,)a+ ∞上有0)(, 0)(≥≥xxfϕ，且0)()(lim= +∞→xxfxϕ则当发散时，∫也发散； 但当收敛时，∫可能收敛，∫∞+adxxf)(∞+adxx)(ϕ∫∞+adxxf)(∞+adxx)(ϕ278也可能发散。

例如21)(xxf=，)20(1)(=pxxpϕ，则+∞= +∞→)()(limxxfxϕ显然有 ∫∞+1)(dxxf发散，而对于，则当∫∞+1)(dxxϕ121≤p⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3） 证 定理 8.2.3 （Cauchy 判别法）证 定理 8.2.3 （Cauchy 判别法） 设在[ ,)a+ ∞⊂+ ∞( ,)0上恒有，f x( )≥0K是正常数 ⑴ 若f xK xp( ) ≤，且，则收敛； p>1∫∞+adxxf)(⑵ 若f xK xp( ) ≥，且，则发散 p≤1∫∞+adxxf)(推论（Cauchy 判别法的极限形式）推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[ ,)a+ ∞⊂+ ∞( ,)0上恒有，且 f x( )≥0lim( ) xpx f xl →+∞=， 则 ⑴ 若0 ≤1∫∞+adxxf)(279⑵ 若0 −qpx xdxqp11++∞∫收敛，在其余情况下积分 x xdxqp11++∞∫发散 ⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的 f x( ))cpv(f x dx( )−∞+∞∫f x dx( )−∞+∞∫证证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。

f x dx( )−∞+∞∫)cpv(f x dx( )−∞+∞∫0)(≥xf)cpv(f x dx( )−∞+∞∫f x dx( )−∞+∞∫由于收敛，可知极限 )cpv(f x dx( )−∞+∞∫+∞→Alim=)(AF +∞→Alim∫−AAdxxf)( 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， 0>∀ε，，00A∃>0,AAA≥′∀：εpppxxx1sin≤，而∫∞+11dxxp收敛，所以当时积分 1>psin x x1+∞∫绝对收敛； 当时，因为有界，10≤p≤pxxxarctansinpx2π，而∫∞+11dxxp收敛，所以当时积分1>p∫∞+1tanarcsindxxxxp绝对收敛； 当时，因为有界，10≤ mnxxxqxpnmsin)()(2xK≤，可知当时积分1+> mn∫∞+anmxdxxqxpsin)()(绝对收敛 当时，因为有界，且当 充分大时，1+= mn∫=AxdxAF1sin)(x)()( xqxpnm单调且0)()(lim= +∞→xqxpnmx，由 Dirichlet 判别法可知∫∞+anmxdxxqxpsin)()(收敛；但由于当+∞→x时，)()( xqxpnm～xa，易知∫∞+1sin)()(dxxxqxpnm发散，所以当时，积分1+= mn∫∞+anmxdxxqxpsin)()(条件收敛。

当时，由1+∀ε，0>∃δ，), 0(',δηη∈∀：Kdxxbbbpεηη∃ε，0>∀δ，), 0(',δηη∈∃：Kdxxbbbp0' )(1εηη≥−∫−− 由于≥∫−−')(ηηbbdxxf0' )(εηη≥−∫−−bbpdxxbK，所以发散 f x dxab( )∫推论（推论（Cauchy 判别法的极限形式）判别法的极限形式）设在[ ,上恒有，且 )a bf x( )≥0lim()( ) xbpbxf xl → −−=， 则 ⑴ 若0 ≤∃δ，),(bbxδ−∈∀：pxblxf)(1)(−+∃δ，),(bbxδ−∈∀：pxblxf)(2)(−>， 再应用定理 8.2.的（2） ′ 3定理 8.2.定理 8.2. 若下列两个条件之一满足，则收敛： ′ 5f x g x dxab( ) ( )∫284⑴（Abel 判别法判别法） 收敛，在[ ,上单调有界； f x dxab( )∫g x( ))a b⑵（Dirichlet 判别法判别法）在∫−=ηηbadxxfF)()(], 0(ab −上有界，g x在上单调且( )[ , )a b0)(lim= −→xg bx 证证 （1）设，因为收敛，由 Cauchy 收敛原理， Gxg≤ | )(|f x dxab( )∫0>∀ε，0>∃δ，),(,bbAAδ−∈′∀：GdxxfAA2)(ε∀ε，0>∃δ，),(bbxδ−∈∀，有Mxg4)(εxδxxx1 1ln2xδxxp1lnp|ln|x 01∫1−≤p时，积分发散。

|ln|x 01∫（6）～11)1 (−−−qpxxpx−11)0(+→x，～11)1 (−−−qpxxqx−−1)1 (1)1(−→x，所以在时积分收敛，在其余情况下积分 0, 0>>qpxxdpq−−−∫11 011 ()xxxxdpq−−−∫11 011 ()发散 （7）～|ln|)1 (11xxxqp−−−qx−− )1 (1)1(−→x，且 0|)]ln|)1 (([lim11210=−−−−+→xxxxqppx，即当充分小时，有 0>x21111ln)1 (pqpxxxx −−−>qp时积分收敛，在其余情况下积分发散 ∫−−−1011|ln|)1 (dxxxxqp∫−−−1011|ln|)1 (dxxxxqp286⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴xx xq−−−∫1101 ln();+∈Rqp,⑵1 12230x xxdx() ()−−+∞∫; ⑶ln()10++∞∫x x; ⑷∫∞+0tanarcdxxxp; ⑸∫2/0tanπdxxxp; ⑹xdpx−−+∞∫1 0ex; ⑺10xxq++∞∫; ⑻∫∞+2ln1dxxxqp. 解解（1）xx xq−−−∫1101 ln∫− =2101lndxxxp ∫− −2101lndxxxq∫−−−+12111lndxxxxqp 。

当，时积分0>p0>q∫− 2101lndxxxp 与积分∫− 2101lndxxxq显然收敛，且当时， −→1x=−−−xxxqpln11()[]()[] ()) 1(1ln1) 1(11) 1(111−+−−+−−−+−−xxxqp ～qpxxqp−=−−− 1) 1)((， 即∫−−−12111lndxxxxqp 不是反常积分，所以积分xx xq−−−∫1101 ln收敛 （2）= −−∫∞+032)2() 1(1dx xxx∫−−1032)2() 1(1dx xxx∫−−+2132)2() 1(1dx xxx∫∞+−−+232)2() 1(1dx xxx 因为 32)2() 1(1−−xxx～313121x⋅−)0(+→x， 32)2() 1(1−−xxx～32 ) 1(1−−x)1(−→x， 所以积分∫ −−1032)2() 1(1dx xxx收敛； 287因为 32)2() 1(1−−xxx～32 ) 1(1−−x)1(+→x， 32)2() 1(1−−xxx～313 )2(121−⋅x)2(−→x， 所以积分∫ −−2132)2() 1(1dx xxx收敛； 因为 32)2() 1(1−−xxx～313 )2(121−⋅x)2(+→x， 32)2() 1(1−−xxx～341x)(+∞→x， 所以积分∫∞+−−232)2() 1(1dx xxx收敛。

由此可知积分1 12230x xxdx() ()−−+∞∫收敛 （3）=+∫∞+0)1ln(dxxxp++∫10)1ln(dxxxp∫∞++1)1ln(dxxxp 由pxx)1ln( +～11−px)0(+→x，可知当2p0)1ln(lim213 = ⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢ ⎣⎡+⋅−+∞→ppxxxx，即当充分大时，有 0>x2131)1ln(−−p，可知当时，积分1>p∫∞++1)1ln(dxxxp收敛，当时，积分1≤p∫∞++1)1ln(dxxxp发散； 288综上所述，当时，积分21p∫∞+1tanarcdxxxp收敛 所以当时积分21pxdpx−−+∞∫1 0ex0≤p时积分发散 xdpx−−+∞∫1 0ex289（7）10xxq++∞∫∫+=101dxxxqp∫∞+ ++11dxxxqp 当qp=时，显然积分10xxq++∞∫发散； 当qp ≠时，由于 qpxx+1～),min(1qpx)0(+→x，qpxx+1～),max(1qpx)(+∞→x， 所以当1),min(qp10xxq++∞∫收敛，其余情况下积分10xxq++∞∫发散 （8）设，则对任意的 ，当 充分大时，有1>pqx211 ln1++p，可知积分∫∞+2ln1dxxxqp收敛。

设，则对任意的 ，当 充分大时，有1pqp xxx，因为121p1, 1>=qp∫∞+2ln1dxxxqp收敛，在其余情况下积分∫∞+2ln1dxxxqp发散 ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴x x−+∞ +∫1201; ⑵xx xdxqpsin 11++∞∫(); p≥0⑶∫∞+0sincosedxxxpx ; ⑷∫∞+0sin2sinedxxxpx ; 290(5)∫1021cos1dxxxp； (6)∫∞+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11sin dxxxxp(). 0>p解解（1）x x−+∞ +∫1201∫+=−10211dxxxp ∫∞+−++1211dxxxp 由211xxp+− ～px−11)0(+→x，211xxp+− ～px−31)(+∞→x， 可知当时积分20pppxxxx11sin ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ，可知积分∫∞+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11sin dxxxxp绝对收敛 当时，因为10≤2321πππ，而级数 ∑∞=⎟⎞⎜⎛+11np nππ ⎠⎝2发散，所以积分∫∞+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11sin dxxxxp发散；又因为 =+ ∫∞+dxxxxp1)1sin( dxxxxxx p∫∞++1sin1coscos1sin ，注意到当 充分大时，xpxx1sin与pxx1cos 都是单调减少的，由 Dirichlet 判别法可知积分∫∞+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11sin dxxxxp收敛，所以积分∫∞+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11sin dxxxxp条件收敛。

10．证明反常积分收敛 ∫∞+04sinsinxdxxx293证证 对任意AAA>>'“，由分部积分法， ∫=“'4sinsinAAxdxxx∫−“'4 2)(cos4sinAAxdxx“'244cossinAAxxx ⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛−=∫−+“'244coscosAAdxxxx∫“'342sincosAAdxxxx 显然，当时，等式右端的三项都趋于零，由 Cauchy 收敛原理，可知反常积分收敛 +∞→A∫∞+04sinsinxdxxx11．设单调，且当f x( )x→+0时f x( )→ +∞，证明： 收敛的必要条件是 f x dx( )01∫lim( ) xxf x → += 00证证 首先由的。