高一数学人教版2019必修一上学期同步课堂 基本不等式（基础知识+基本题型）解析.docx

2.2 基本不等式（基础知识+基本题型）知识点一 基本不等式1．重要不等式（1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立．（2）证明，当时，，当时，．所以，即．拓展关于不等式的几点说明：（1）不等式中的，的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式；（2）公式中等号成立的条件是，如果，不能相等，则中的等号不能成立；（3）不等式可以变形为，，等．2．基本不等式（1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）．（2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，．我们称为，的算数平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算数平均数不小于它们的几何平均数．（3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，，易证，则，即．这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立．拓展不等式和的比较（1）不等式和成立的条件是不同的．前者要求，是实数即可，而后者要求，都是正实数．例如，当，时，成立，但显然不成立．（2）不等式和都是带有等号的不等式，当且仅当时，等号成立．（3）由和可以得到一些常用结论：①；②对个正数，，…，，有；③，其中和分别叫做，的调和平均数和平方平均数．知识点二 利用基本不等式求最值利用算数平均数与几何平均数定理（即基本不等式）可以求函数的最大值、最小值．（1）已知，，如果积是定值，那么当时，和有最小值．（2）已知，如果和是定值，那么当时，积有最大值．以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．利用基本不等式求最值需注意的问题（1）各数（或式）均为正．（2）和或积为定值．（3）等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．（4）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．考点一：对公式及的理解例1.下列结论正确的是(　　)A．当x>0且x≠1时，B．当x>0时，C．当x≥2时，的最小值为2D．当0

答案】　B【解析】　A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，∴或；C中，当x≥2时，；D中，当0

解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m，则由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(Ⅱ).当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案. 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司。