福建省石狮市九年级数学上册第23章图形的相似复习课件新版华东师大版.ppt

复习课,,小 结,,,相 似 三 角 形,2．定义,3．性质,4．判定,5．应用,1.线段成比例,1.比例的基本性质,2.合比性质,3.等比性质,4.平行线分线段成比例定理及推论,,1.AA 2.SAS 3.SSS 4.HL,,,对应高,中线,角平分线的比等于相似比,对应周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方,一、复习：,1、相似三角形的定义是什么？,答：,对应角,相等，,对应边,成比例,的两个三角形叫做相似三角形.,2、判定两个三角形相似有哪些方法？,答：,A、用定义；,B、用预备定理；,C、用判定定理1、2、3.,,D、直角三角形相似的判定定理,3、相似三角形有哪些性质,1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方一.填空选择题: 1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而 (2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED， 则△ AED与△ ABC的相似比为______. 2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC 的相似比为＿＿＿. 3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。

6. 如图，D是△ABC一边BC 上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC 7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上 的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组1:3,D,4,二、证明题： 1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB. 2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME 3. 如图，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO · EC.,4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直 线分别交对角线BD、边BC、边 DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG . 5. △ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： △ ADE∽ △ ABC （用两种方法证明）. 6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC,E是AC的中点，ED交 AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A ∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似） ∴,,1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC， 从而,,,解 :∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE∥BC，且 ∴ △ADE∽△ABC 即△ADE与△ABC的相似比为1:2,(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则△ ADE与△ ABC的相似比为______,2.,解: ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 ∴AD:AB=2:5 即△ADE与△ABC的相似比为2:5,如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED 和△ ABC 的相似比为＿＿＿.,3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.,解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF ∵ △DEF∽△ABC ∴ DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 ∴ EF=5cm,4.,等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.,解: ∵ △ABC ∽△BDC ∴ 即 ∴ DC=2cm,5.,解: ∵ △ADE∽△ACB 且 ∴,如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。

7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC， ∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形_______组解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC,1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB,分析:要证明AC2=AD·AB，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD ∴ ∴ AC2=AD·AB,2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME,分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。

AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项证明：①∵∠BAC=90° M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE,∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA,② ∵ △MAD∽ △MEA ∴ 即AM2=MD·ME,3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO · EC.,分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： ，只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似证明：∵ AB∥CD ∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ∴ ，即 ED2=EO · EC,4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG .,分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。

可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.,证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴ ∴,5. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）.,证明一： ∵BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90° ∴ ∠ABD= ∠ACE 又∵ ∠A= ∠A ∴△ ABD ∽ △ ACE ∴ ∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC,证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO ∠ BOE=∠COD ∴ △BOE ∽ △COD ∴ 即 又∵ ∠BOC= ∠EOD ∴ △BOC ∽△EOD ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1+ ∠BCD=90°， ∠2+ ∠3= ∠ 90° ∴ ∠ BCD= ∠3 又∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE∽ △ ABC,,6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,分析：因△ABC∽△ABD，所以 ， 要证 即证 ， 需证△BDF∽△DAF.,证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF,∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F ∴ △BDF∽△DAF. ∴ ∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD ∴ ∴,1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．,解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC ⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC ⑶ ∵∠A= ∠A， 当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC,答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.,1、条件探索型,三、探索题,2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,１,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件． 解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件．,1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.,C,解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）,2、结论探索型,2.△在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.,,E,,E,,E,,E,这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论． 解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.,3、存在探索型,如图, DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.,证明：连结MC， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，AE＝EC， 又∵ME⊥AC, ∴AM＝CM， ∴ ∠1= ∠2 ， ∵∠B=90°， ∴ ∠4＝ ∠B= 90°， ∵AF ∥BC，AM ∥DE, ∴ ∠1= ∠2 ， ∴ ∠3= ∠2 , ∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， ∴ △ADE ∽△MEC．,,,1,2,3,M,解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作∠MCA= ∠AED).,4,所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题． 解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若。