杨学栋北理工教材Y-第12章-3量子物理.ppt

3.琼森(Jonsson)实验（1961）,基本数据,大量电子的单、双、三、四缝衍射实验,后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子 等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意 关系根据微观粒子波动性发展起来的电子显微镜、电子衍射技术和 中子衍射技术已成为研究物质微观结构和晶体结构分析的有力手段例 m = 0.01kg，υ= 300 m/s 的子弹,h极小  宏观物体的波长小得实验难以测量,“宏观物体只表现出粒子性， 并不是说没有波动性”,波长,波粒二象性是普遍的结论——宏观粒子也具有波动性,,观点一 ：,但波包要扩散、消失,,波是基本的，,电子是“波包”观点二 ：,粒子是基本的，,是大量电子相互作用形成的电子的物质波,怎样理解物质波?波粒二象性的本质是什么？,而电子是稳定的1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了 一个非常精确的弱电子流衍射实验电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现 一个一个的感光点显示出电子具有粒子性）,开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样1 .波动性是单个微观粒子的属性,7个电子,100个电子,3000,20000,70000,单电子双缝衍射实验：,说明衍射图样不是电子 相互作用的结果,它来源 于单个电子具有的波动性。

弱电子流 长时间“曝光”,强电子流 短时间“曝光”,相同的衍射花样,,波动性是单个粒子的本征属性,“一个电子”就具有的波动性，,电子波并不是电子间相互作用的结果但一定条件下（如双缝）， 它在空间某处出现 的概率是可以确定的尽管单个电子的去向具有不确定性，,2.关于微观粒子波粒二象性的理解,1.经典粒子,是某种实在的物理量随空间和时间作周期性变化， 满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象具有确定的质量、电荷其运动规律遵循牛顿定律2.经典波,经典意义下的粒子和波,当与其它物体发生作用时是整体进行的给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等 就具有确定的数值1.粒子性,指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”但不是经典的粒子！在空间以概率出现 没有确定的轨道,应摒弃“轨道”的概念！,正确理解微观粒子的波粒二象性,2. 波动性,指它在空间传播有“可叠加性”， 有“干涉”、“衍射”、等现象但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动即电子既不是经典意义下的粒子， 也不是经典意义下的波但它既具有经典粒子的某种属性， 又具有经典波的某种属性波粒二象性只是对这两种属性的比喻， 电子就是电子本身！,电子到底是什么？,波和粒子都是宏观概念，当我们进入 亚微观状态领域时，它们就变得不那么贴切了！,“电子既不是粒子，也不是波”,费曼：,德布罗意波粒二象性假设——物质波  把原子定态与驻波联系起来,玻尔的量子化条件,玻尔的量子化条件,解：在势阱中粒子德布罗意波长为,粒子的动量为：,粒子的能量为：,(2) 由上式，质子的基态能量为(n=1):,第一激发态的能量为：,n= 1,2,3…,从第一激发态转变到基态所放出的能量为：,讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。

光具有波粒二象性，某处光强大,单位时间到达该处的光子数就多德布罗意波的统计解释,从统计的观点看，光强大的地方比光强小的地方,光子出现概率大微观粒子具有波粒二象性，电子衍射图样说明,波强大处电子出现概率大德布罗意波的统计解释 :,在某处德布罗意波的强度与粒子在该处邻近出现概率成正比,德布罗意波是概率波,玻恩1926年提出：,物质波描述了粒子在各处出现的概率,12.4.3 波函数的统计解释,德布罗意波是概率波,玻恩1926年提出：,物质波描述了粒子在各处出现的概率,薛定谔进一步扩大德布罗意概念，于1926年建立了波动力学， 建立了物质波的运动方程——一个二阶偏微分方程波函数(量子力学基本原理之一） 概率密度,1.波函数的物理意义 (玻恩统计诠释),波函数 本身没有直接的物理意义它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方,表示 t 时刻微观粒子，在空间 点出现的相对概率密度 式中： 是空间坐标 和时间坐标t的函数， 是其复共轭微观粒子具有波粒二象性，波强大处粒子出现概率大一个微观客体在时刻 t 状态,用波函数 (一般是复函数 ) 完全描述.,为了定量描述微观粒子的状态“量子力学”引入了,单色平面波,复数形式,一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E,动量为px)具有波粒二象性：,由德布罗依关系式,代入上式,（三维）自由粒子波函数,例,2. 统计诠释及其它物理条件对波函数提出的要求,1）. 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值,式中,2）. 粒子在空间各点的概率的总和为 1 ---- 波函数归一化条件,0 是任意有限体积元,满足该条件为归一化波函数.,3）. 要求,单值,一般情况下, 物理上要求波函数是有限，连续和单值的 ----- 波函数标准化条件,只打开a,只打开 b,两缝同时打开,,,,,干涉项,,波函数可以相加概率不能相加,波函数遵从叠加原理: 实验证实, 以双缝实验为例,3. 叠加原理；如果 都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。

小结： 波函数： 1). 微观粒子的状态用波函数完全描述，与经典物理不同，波函数没有对应的物理量，它不能测量，一般是复数. 例如：一维自由粒子的波函数,描述同一个状态，因为，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布与经典波不同,波函数还有一个相位因子的不确定性,,2). 波函数的物理意义：,3). 概率波 ------量子力学是一种统计理论与经典决定论不同,长时期的争沦,4). 波函数应满足的标准条件（物理要求）,以后会看到，有些情况下能量量子化就是源于这些条件的限制,连续性 有限性 单值性 归一化条件.,5). 波函数遵从叠加原理: 实验证实,,波函数（概率幅）可以相加 概率不能相加,狄拉克：概率幅的直接结果，就是引起了充满整个原子世界的干涉现象,,4. 波函数也称为概率幅,解：首先把给定的波函数归一化,做积分,得,因此，归一化的波函数为,归一化之后， 就代表概率密度了，即,概率最大处:,即 x = 0,讨论：波函数本身无物理意义, “测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。

12-5 不确定关系,一.不确定性关系,若三维空间有,2） 能量和时间之间的不确定关系,1）位置和动量之间的不确定关系,（测不准关系）,单个电子或单色光的单缝衍射,位置不确定量,动量不确定量,（缝宽）,（衍射程度）,由衍射极小公式,由,及德布罗意公式,得,精确推导,常用,或,,},二. 不确定关系的物理意义,1. 不确定关系说明经典手段对于微观粒子不适用,是微观世界固有规律.,2. 不确定关系说明微观粒子不可能静止------零点能存在,--- 零点能,3. 不确定关系给出了宏观物理与微观物理的分界线,---- 普朗克常数 h,位置和动量不可能同时精确测定,例: 一个电子沿 x 方向运动, 速度大小 vx=500m/s, 已知其精确度 0.01. 求测定电子坐标 x 所能到达的最大精确度.,解:,若一个子弹, 质量为 10g, 具有同样的速度大小和方向, 测量精度:,例.氢原子的直径约 10-10m，求原子中电子速度的不确 定量按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运 动，它的速度是多少？结果说明什么问题？,速度与其不确定度 同数量级可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。

按经典力学计算,少女？,老妇？,两种图像不会同时出现在你的视觉中,迈克尔逊 —莫雷实验,量子物理,经典物理学,问题的提出：,薛定谔,你能不能给我们 讲一讲De Broglie的那篇 学位论文呢？,瑞士联邦工业大学,一月以后：薛定谔 向大家介绍了德布罗 意的论文你这种谈论太幼稚，作为 索末菲的门徒，都知道： 处理波要有一个波动方程 才行啦！,12-6 薛定谔方程 (量子力学基本原理之二）,瑞士联邦工业大学,德 拜,又过了几个星期,薛 定 谔,我的同行提出，要有一个 波动方程，今天我找到了 一个：,,薛定谔： 方程 能解很多好东西 若问这是为什么？ 谁也不知道！,散会后：,以自由粒子为例建立 Schröding方程,,原来薛定谔方程是利用 经典物理，用类比的办 法得到的，或者说开始 只不过是一个假定，尔 后为实验证实我们从 特例出发，推广得出这 个方程非相对论条件下讨论）,一个沿 x 方向运动的自由粒子,可用一维平面波函数描述,经典波动微分方程,消去,对于自由粒子,,,原则: (一) 波函数满足叠加原理,,(二) 方程应具有粒子各种状态都能满足的普 适性质.,,（非相对论）,12.6.1 自由粒子薛定谔方程,,,,,---- 自由粒子的薛定谔方程,推广到三维：,一般情况：,——薛定谔方程普遍形式,（非相对论）,粒子的量子态,,（空域描述）,（频域描述）,力学量的平均值,12.6.2 薛定谔方程和哈密顿量,一 量子力学中力学量为什么要用算符代替？,（位置确定，动量则不确定）,由于很多力学量（例如：能量、角动量）中既有‘坐标’又有‘动量’，所以必须统一在同一表象中计算其平均值。

但是,二 力学量与算符对应,,动能,源于波粒二象性，不确定关系,,,,例,(量子力学基本原理之三）,利用傅里叶变换,在坐标表象中,动量算符,把力学量用其对应的算符来代替就可以在同一表象中计算其平均值,也可用简便的方法引入算符；由一维定态薛定谔方程,哈密顿（ 能量）算符,在经典力学中, 哈密顿函数(能量)在非相对论近似下为,,对于算符 ，如果,为常数,例. 力学量 经典定义 算符 位置 动量 角动量 动能 总能量,,,就将经典力学的能量和量子力学中的能量算符关联起来.,三维,经典物理学中,一个粒子的状态用 描写,其他物理量,在量子力学中 对应一个算符,,只要建立如下关系,,,1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；,3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.,讨论:,2 薛定谔方程的解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程4 薛定谔方程中含有虚数 i,所以它的解 必然是复数， 只有 的模方才有直接的物理意义。

5 一般情况下, 物理上要求波函数满足有限，连续，单值的波函数标准化条件和归一化条件,12.6.3 定态薛定谔方程,则薛定谔方程的一般表达式,设一个特解,代入薛定谔方程，得：,,,令,左边:,右边:,---- 定态薛定谔方程,,常数 E 就是能量,与自由粒子波函数对比可知，,讨论:,只有某些 E 值对应的解才是物理上可接受的 ---- 能量本征值,2. 能量本征值所对应的波函数称为能量本征函数.,3. 这一方程又称为能量本征值方程定态薛定谔方程：,定态:能量取确定值的状态,定态波函数,4. 这一波函数所描述的量子态称为定态概率密度分布,不随时间变化,一维定态薛定谔方程：,例如：对自由粒子，U（x） = 0，一维情况下，上式成为：,其解为,这正是自由粒子的波函数，E 正是粒子的能量，p正是粒子的动量其中,,势阱内,则,其通解,势阱外,（有限条件）,a,12-7 一维势场中的粒子,12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子,式中 A,  为待定系数,与本征值 En 对应本征。