2022年高考数学大复习小题课时练33 点到直线的距离 解析版.docx

课时33 点到直线的距离 （基础题）一、填空题1．（2019上海高三一模）圆的圆心到直线的距离等于______．【答案】0【分析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．【详解】解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：，故答案为0．【点睛】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．2．过点作圆的切线，切点为，如果，那么切线的斜率是________；【答案】；【分析】利用点斜式表示出切线方程,结合点到直线距离等于半径即可求得切线的斜率.【详解】因为所以设过的切线方程为,化简可得因为与圆相切所以圆心到切线的距离等于半径,即由点到直线距离公式可得 解方程可求得故答案为:【点睛】本题考查了点斜式直线方程的表示方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式应用,属于基础题.3．（2016上海浦东新高三二模）在极坐标系中，点到直线的距离为________．【答案】【分析】首先将点和直线都化为直角坐标，再代入点到直线的距离公式求距离.【详解】即 ，即 ，点到直线的距离.故答案为：【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标，以及求点到直线的距离，意在考查基本公式，属于基础题型.4．坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.【答案】【分析】利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【详解】解：设原点关于直线对称的点的坐标是，则中点坐标为在直线上，直线的斜率为则，解得，．要求的对称的点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．考点：点到直线的距离．（能力题）一、单选题1．（2020上海）若，到直线的距离分别为，，则，的大小关系是（ ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案.【详解】，，，故.故选：A.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．（2019上海浦东新）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（　　）A． B．C． D．|ax0+by0+c|【答案】A【分析】设N（，），则M、N两点的“垂直距离”为：||+||．由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值．【详解】由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设，则两点的“垂直距离”为：所以两点的“垂直距离”的最小值为．故选A．【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题．二、填空题3．（2017上海杨浦高三一模）已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.4．（2017长宁上海市延安中学）已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，则四边形的面积为______.【答案】【分析】根据奇偶性的判定可知为奇函数，由此可知关于原点对称，关于原点对称；利用直线方程的求法可求得直线，进而得到原点到直线的距离，利用两点间距离公式可求得，由可求得结果.【详解】由得：或，即定义域为为定义在上的奇函数与关于原点对称，与关于原点对称 又 直线方程为：，即到直线距离，又故答案为：【点睛】本题考查四边形面积的求解问题，涉及到函数奇偶性与对称性的应用、直线方程的求解、两点间距离公式和点到直线距离公式的应用等知识；关键是能够根据对称性确定所求四边形面积为面积的四倍.5．（2017徐汇上海中学高三模拟预测）若函数和它的反函数的图象与函数的图象分别交于点A、B，若，则a约等于________（精确到0.1）．【答案】8.4【分析】根据题意画出图形，如图，设，函数和它的反函数的图象与函数的图象关于直线对称，得出点A到直线的距离为的一半，利用点到直线的距离公式及在函数的图象上得到即可．【详解】解：根据题意画出图形，如图，设，∵函数和它的反函数的图象与函数的图象关于直线对称，∴，点A到直线的距离为，∴，①又在函数的图象上，，②由①②得：，∴，故答案为：8.4．【点睛】本题考查了互为反函数的性质、点到直线的距离，属于中档题.6．（2020上海）点与点是轴对称的两点，则对称轴方程为________．【答案】【分析】根据已知求出，根据对称轴与垂直求出对称轴所在直线的斜率，再由的中点在对称轴上即可求出对称轴的方程.【详解】解：由题意知，对称轴方程为线段的垂直平分线.因为，所以对称轴所在直线斜率为.又线段的中点在对称轴上，所以对称轴方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查直线方程的表示以及两直线垂直的条件，属于基础题.7．（2016上海金山高三一模）已知点P、Q分别为函数(x≥0)和图像上的点，则点P和Q两点距离的最小值为____________．【答案】；【分析】确定(x≥0)和互为反函数，点P和Q两点距离的最小值为点到直线距离最小值的两倍，设，计算点到直线的距离得到答案.【详解】易知函数(x≥0)和互为反函数，故函数关于对称则点P和Q两点距离的最小值为点到直线距离最小值的两倍.设， ，当时 故点P和Q两点距离的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了反函数，距离的最值，将两点间的距离转化为点到直线的距离是解题的关键.三、解答题8．（2017上海杨浦复旦附中高三模拟预测）如图，为信号源点，、、是三个居民区，已知、都在的正东方向上，，，在的北偏西45方向上，，现要经过点铺设一条总光缆直线（在直线的上方），并从、、分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/，设，（），铺设三条分支光缆的总费用为（元）.（1）求关于的函数表达式；（2）求的最小值及此时的值.【答案】（1）；（2），.【分析】(1)对直线的斜率是否存在分类讨论，求出三点到直线的距离，铺设三条分光缆的总费用即可求关于的函数表达式；(2)由（1）中的表达式利用换元法，利用基本不等式，可求的最小值及此时的值．【详解】(1) 以点位坐标原点，为轴建立直角坐标系,则，当直线的斜率不存在，即时，三点到直线的距离分别为10，20，5所以此时=,当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，,三点到直线的距离分别为:，所以 .所以(2) 当直线的斜率不存在时，=,当直线的斜率存在时，设，当即时，=.当即时，.因为当时(当且仅当时取等号)当时, (当且仅当时取等号)所以的最小值为 此时.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，属于中档题．9．（2020上海）已知点和直线，求当为何值时，点到直线的距离最大，最大值是多少．【答案】，最大值为【分析】先得出直线恒过定点，由平面几何性质可得时点到直线距离最大，由此利用垂直直线的斜率关系求出，进而可得结果.【详解】的方程可化为，由得，即直线恒过定点，∵直线的斜率，∴当直线时，点到直线距离最大可得，解得，故当时，点到直线的距离最大，此时的方程为，最大值为.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，点到直线的距离公式，属于中档题.10．（2020上海）设集合{直线与直线相交且以交点的横坐标为斜率}．（1）点到中哪条直线距离最小；（2）设，点到中直线距离的最小值设为，求．【答案】（1）到距离最小；（2）【分析】（1）设出交点坐标，可写出直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出点到到直线的距离，判断该式的单调性即可求出最小值，从而得到直线的方程；（2）先求出点到中直线的距离，得到关于的函数关系式，变形，结合基本不等式取等的条件进行分类讨论，即可求出．【详解】（1）设交点为，则直线的方程为，即．点到直线的距离关于单调递增，所以，当时，距离最小为0，此时直线的方程为．（2）因为，因为设，，所以当，即或时，；当即时，在上单调递增，．综上，．【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，基本不等式的应用，函数单调性的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和分类讨论思想的应用能力，属于中档题．（真题/新题）一、单选题1．（2020全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.2．（2021湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点到直线的距离为，故选：D.二、填空题3．（2021上海高三模拟预测）已知实数满足，则的最小值为________________【答案】#【分析】化简方程为，即或，结合原点到直线的距离，即可求解.【详解】由，可得，即或，则原点O到直线的距离的平方为；原点O到直线的距离的平方为，所以的最小值为原点O到直线的距离的平方为．故答案为：或．4．（2021上海市奉贤中学高三期中）点到直线距离的最大值为___________.【答案】【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解】解：直线恒过点，则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.5．（2020上海高三一模）点到直线的距离是________【答案】【分析】直接利用点到直线的距离公式求解.【详解】由点到直线的距离公式得.故答案为：6．（2020上海）过点且到原点距离最大的直线方程为________.【答案】【分析】若设点的坐标为，则所求的直线为过点且与垂直的直线，先求出直线的斜率，则可得所求直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程.【详解】解：设点的坐标为，则过点且到原点距离最大的直线方程为与垂直的直线，因为，所以所求直线的斜率为，所以所求的直线方程为，即故答案为：【点睛】此题考查两直线的位置关系，直线方程的求解，属于基础题.。