2024-2025学年山东省新高考联合质量测评高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={(x,y)|y≥x，x，y∈Z}，B={(x,y)|y=log2(x+2)}，则A∩B中元素的个数为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个2.“2x<1”是“x>2”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件3.已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S90，则当Sn取得最小值时，n=( )A. 3 B. 6 C. 7 D. 84.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(−4,1)，则c2+9a+b的取值范围为( )A. [−6,+∞) B. (−∞,6) C. (−6,+∞) D. (−∞,−6]5.已知函数f(x)=2sinx−ax，a∈R，若曲线f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程为x+y+k=0，则函数f(x)在(0,2π)内的单调递减区间是( )A. [π3,5π3] B. (0,π] C. [π,2π) D. (0,π3],[53π,2π)6.若使不等式x2+(a−1)x−a≤0成立的任意一个x，都满足不等式|3x+2|>1，则实数a的取值范围为( )A. (−∞,13] B. (−13,+∞) C. (−∞,13) D. (13,+∞)7.若函数f(x)=x3−x2−x−1的图象与直线y=k有3个不同的交点，则实数k的取值范围为( )A. (2227,2) B. (−2,−2227) C. (−2,+∞) D. (−∞,−2227)8.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.已知数列{an}满足a2=1，2Sn=nan，若bn=[lg(an+1)]，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2024=( )A. 4956 B. 4965 C. 7000 D. 8022二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知正实数a，b，满足a+b=1，则( )A. 2a+2b≥2 2 B. a+ b≤ 2C. a2+b≤34 D. 12a+12b≥ a+ b10.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，则( )A. {an}是递增数列B. {an+1an}是等比数列C. {Snan}不是等比数列D. Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，…成等比数列11.已知f(x)=exx+1(x>−1)，g(x)=(1−x)ex(x<1)，且f(a)=f(b)=1.01，g(c)=g(d)=0.99.若a>b，c>d，则( )A. a+b>0 B. a+d>0 C. b+c>0 D. c+d>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知集合M=[a,a+1]，且“∀x∈M，ax−1>0(a>0，且a≠1)”是假命题，则实数a的取值范围为______．13.等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S2=−1，S8=17S4，则S6= ______．14.已知曲线y1=ax−1x，y2=(a+1)lnx，若曲线y1，y2恰有一个交点，则实数a的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)解关于x的不等式：m(3x−8)3x−2>1(m∈R)．16.(本小题15分)在数列{an}中，a1=2，2an+1+12+an=1an，n∈N+．(1)求证：数列{lg(1+an)}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn=1an+12+an，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值．17.(本小题15分)如图，一海岛O离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km，快艇时速为60km.设海运起点C到点B的距离为xkm.(参考数据： 5≈2.2) (1)写出运输时间t(x)关于x的函数；(2)当点C选在何处时运输时间最短？18.(本小题17分)已知函数f(x)=mx+lnx(m∈R)．(1)当m=−1时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)+x2+lnx，求函数g(x)极值点的个数；(3)当m=1时，若f(x)≤k(x+1)+b在(0,+∞)上恒成立，求证：b≥(e+1)(1−k)．19.(本小题17分)已知数列{an}的首项为2，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+2，其中q>0，n∈N∗．(1)若a3是2a2和a2+4的等差中项，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2−y2an2=1的离心率为en，且e2= 733，证明：e1+e2+e3+⋯+en>6⋅(43)n−6；(3)在(1)的条件下，记集合A={x|x=an}，B={x|x=2n−1,n∈N∗}，若将A∪B所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{bn}，Tn为数列{bn}的前n项和，求使得Tn>12bn+1成立的n的最小值．参考答案1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.ABD 10.BCD 11.AC 12.(0,1) 13.−21 14.(0,+∞) 15.解：由题意可知，m(3x−8)3x−2−1>0，即(3m−3)x+2−8m3x−2>0，也即[(3m−3)x+2−8m](3x−2)>0．当m=1时，不等式可化为−6×(3x−2)>0，解得x<23．若m≠1，则8m−23m−3−23=2mm−1，当m>1时，8m−23m−3>23且3m−3>0，解得x<23或x>8m−23m−3．当0x>8m−23m−3．当m<0时，8m−23m−3>23且3m−3<0，解得231，解集为⌀．综上所述：当m>1时，不等式的解集为(−∞,23)∪(8m−23m−3,+∞)；当m=1时，不等式的解集为(−∞,23)；当00，所以x=48 5≈105.6时，t(x)取最小值，所以当点C选在距B点105.6km时运输时间最短． 18.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)=−x+lnx，f′(x)=−1+1x，所以f(1)=−1，f′(1)=0，所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=−1．(2)g(x)=f(x)+x2+lnx=2lnx+mx+x2，g′(x)=2x+m+2x=2x2+mx+2x(x>0)，对于方程2x2+mx+2=0，Δ=m2−16，①当−4≤m≤4时，Δ=m2−16≤0，g′(x)≥0，此时g(x)没有极值点；②当m<−4时，方程2x2+mx+2=0的两根为x1，x2，不妨设x10，x1x2=1，0x2时，f′(x)>0，当x14时，方程2x2+mx+2=0的两根为x3，x4，且x3+x4=−m2<0，x3x4=1，故x3<0，x4<0，当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，故g(x)没有极值点；综上，当m<−4时，函数g(x)有两个极值点；当m≥−4时，函数g(x)没有极值点．(3)证明：由f(x)≤k(x+1)+b在(0,+∞)上恒成立，得x+lnx−k(x+1)≤b在(0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=x+lnx−k(x+1)，ℎ′(x)=1+1x−k，当k≤1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，此时b≥ℎ(x)显然不恒成立．当k>1时，若x∈(0,1k−1)，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1k−1)上单调递增，若x∈(1k−1,+∞)，则ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1k−1,+∞)上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(1k−1)=ln1k−1+1k−1−k(1k−1+1)=−ln(k−1)−k−1，所以−ln(k−1)−k−1≤b．要证b≥(e+1)(1−k)成立，因为k>1，即证明bk−1≥−e−1．因为bk−1≥−ln(k−1)−k−1k−1=−ln(k−1)−(k−1)−2k−1，令k−1=t(t>0)，p(t)=−lnt−t−2t，p′(t)=lnt+1t2，令p′(t)=0得t=1e，当t∈(0,1e)时，p′(t)<0，p(t)在(0,1e)上单调递减，当t∈(1e,+∞)时，p′(t)>0，p(t)在(1e,+∞)上单调递增，所以p(t)min=p(1e)=−e−1，所以bk−1≥−e−1，所以b≥(e+1)(1−k)成立． 19.解：(1)由Sn+1=qSn+2①，知当n≥2时，Sn=qSn−1+2②，两式相减可得an+1=qan，所以{an}从第二项开始是公比为q的等比数列，当n=1时，代入可得a1+a2=qa1+2，即a2=2q，所以{an}是公比为q的等比数列，又a3是2a2和a2+4的等差中项，所以2a3=2a2+a2+4，即2q2−3q−2=0，解得q=2或−12(舍去)，所以an=2n(n∈N∗)．(2)证明：由双曲线的性质可知，en= 12+an21= 12+an2，由(1)知{an}是首项为2，公比为q的等比数列，故e2= 12+a22= 1+4q2= 733，得q=43，故an=2(43)n−1(n∈N∗)，则en= 1+4(43)2n−2> 4(43)2n−2=2(43)。
