华东师大初中数学中考冲刺代数综合问题知识讲解提高精选.docx
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中考冲刺：代数综合问题一知识讲解(提高)【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、 -元二次方程的解法和根的判别式、 函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识， 是解好代数综合题的关键.在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系， 以数形结合的方法找到解决问题的突破口 . 通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心.* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式 )* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合;* 观察一一挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破一一抓往关键实现突破；寻求一一学会寻求解题思路.(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、函数综合2 y和y=kx+l(k *0)1 .已知函数. 一x(l)若这两个函数的图象都经过点 (1 , a),求a和k 的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点 ？【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题.本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数.【答案与解析】解：(1) ..•两函数的图象都经过点 (1 , a),2 a 2,a , - 1 . .解得 k 1. 1. k a22kx x 2 0 y. (2)将 y,得 代入 y = kx+1 ,消去一x「kw0,・•.要使得两函数的图象总有公共点，只要0即可..・・△= 1+8k.8【总结1 . > 1+8k >0,解得k.•.一 81且kw0： k>时这两个函数的图象总有公共点. 升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组， 进而转化为一元二次方程， 利用根的判别式来判断.若△ >0,两图象有两个公共点；若^= 0,两图象有一个公共点；若△< 0,两图象没有公共点.举一反三：22xxxx) 0 c(ay ax bx0x 2 3x是抛物线变式】如图，一元二次方程，< (的两根) 【2i12xCB的横坐标，且此抛物线过点 A (3,与6轴的两个交点)，.(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为 P,对称轴与线段 AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标；⑶在x轴上有一动点 M当MQ+M儆得最小值时，求 M点的坐【答案】2xx0 3 x 2x=1.，得解：(1)解方程，=-321.,•抛物线与x轴的两个交点坐标为： C (-3, 0), B(1, 0).将A (3, 6), B (1, 0), C (-3, 0)代入抛物线的解析式，得1 a , 9a 3b c 6,- 2 , 0b ca b 1, 解这个方程组，得 .0 c 9a 3b3 c .2 132. .y x x 抛物线解析式为. 22131222 1)xxy x (x=-1.,对称轴为直线)的坐标为(，得抛物线顶点P-1由，⑵-2 222得，)代入0, -3 (C,)6, 3 (A将y=kx+b,的函数关系式为3k b 6,b 3,解这个方程组，得 由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC设直线x 1,x 1, •••点 Q坐标为(-13k b 0.kAC的交点，2故解方程组得1.直线AC的函数关系式为 y=x+3.y x 3.y 2. x〃/MQ 6)AQAA(3,.与x点关于轴的对称点，，连接即为所求的点轴交点4 <3) 5)/AQ的函数关系式为设直线 y=kx+b.b 0,3k b 6, /- AQ的函数关系式为直线」• 解这个方程组，得 y=-2x.k 2. k b 2.令x=0,贝U y=0.•・•点M的坐标为(0,0).类型二、函数与方程综合222 m ml22 mx x y mxx y ,这两个二次函数的图象 x的二次函数与2.已知关于 22中的一条与 x轴交于A, B两个不同的点.(1) 试判断哪个二次函数的图象经过 A, B两点；⑵若A点坐标为(-1 , 0),试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过 A, B两点的二次函数，当 x取何值时，y的值随x值的增大而减 小？【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题. 本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质.【答案与解析】2 1m2 mx yx解：的二次函数 x(l)对于关于， 2.2 1m 2 m 2 O2 x,4由于△= (-m) —x 1 1 2 所以此函数的图象与 x轴没有交点.2 2m2 mxx y x的二次函数，对于关于 22 2m 22O 4 3m( m) 4 1由于△=, 2 所以此函数的图象与 x轴有两个不同的交点.2 2m2 mx Oyx两点的二次函数为 B,故图象经过 A, 222 mm2 22 m mx 1 Oy x,得代入，0) . (2)将A(-1 2220m m 2整理，得.2 .，或m=解之，得 m=0221 x y0 1 x①当m=. =0,得.令0时，yx 1x 1 .解这个方程，得， 12此时，B点的坐 标是 B(1 , 0).223 2xy x 03 xx 2 .②当m= 2时，0,得.令y=解这个方程，得 x=-1 , x=3. 43此时，B 点的坐标是B(3 , 0).21 y x时，0,所以当x<,此函数的图象开口向上，对称轴为 0(3)当m=时，二次函数为 x = 0的增大而减小.随 x函数值y224x 1) xy x 2 3 (,当mx= 1 = 2时，二次函数为，此函数的图象 开口向上，对称轴为 x的增大而减小.x所以当< 1时，函数值y随 【总结升华】 从题目的结 构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用 常量来求解.举一反三： 例3】 【高清课堂：代数综合问题2 . xm的一元二次方程•门头沟一模)已知关于(变式0 2016xmx+(3+1)+3=0 )求证该方程有两个实数根； 1 (.2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点(点 A (2)如果抛物线 y=mx在点B左侧)，且m为 正整数，求此抛物线的表达式；2+(3m+1)x+3与y轴交于点C,点B关于)在((32)的条件下，抛物线y=mxy轴的对称点为 D, 设此1抛物线在—3
顺时针旋转120⑴ 求点B的坐标；(2) 求经过A, O, B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使^ BOC勺周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.(4) 如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么△ PAB是否有最大面积？若 有，求出此时 P点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【思路点拨】(1)由/AO及120可得OB与x轴正半轴的夹角为 60 ,利用OB= 2及三角函数可求得点 B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求 BC+COt小.利用二次函数的对称性可知点 C为直线AB与对称轴的交点；S关于点P的横坐标X的函数关系式求解.(4)利用转化的方法列出 PABA【答案与解析】 丁3).,解：(1)B(1.代入点，B(13323J_ 23y a xx2)x( axy ,,)所以得 (2) 设抛物线的解析式为.333(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线 x = -1 ,因为A, O关于抛物线的对称轴对称，所以当点 C位 的周长最小.BOC勺交点时，△ AB于对称轴与线3, k「一 3,b k 3 解得2kb 0. 23 . b 3 V I V, I 323xy的解析式为因此直线 AB 33r 3 y1 X.时，当 一 3 21_ 3 1,. C的坐标为因此点 3 (4)如图所示，过P作y轴的平行线交 AB于D,设其交x轴于E,交过点B与x轴平设点P的横坐标为X .S S S 则 PBDAPABAPADA11PD AE PD BF ——221) BFPD (AE—21) xy)(x(yadpb2212x x 3x233332， ■■ 3 333193 •22228 .39131 , x ,此时的面积的最大值为当时， APAB.8422 【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法. 因为线段的长度为正数， 所以在用点的坐标表示线段长度时， 我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上y y就是利用了这，从而不用加绝对值号，本题中线段 PD的长为边点的纵坐标减下边点的纵坐标”PD 一规律.21,0A1 a yax0 bx xOy,过点中，抛物。
