有限元分析第五章(第一部分).doc

第五章 等参数单元(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元） ，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换§5-1 四结点四边形等参数单元１、母体单元　自然坐标和形函数母体单元 ê　：边长为２的正方形，自然坐标系 ξ， η　示于图 5-1取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然　　　　　有如下特点：（i）　　　　　是 ξ， η 的双线性函数（ii）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设 xy 平面上的实际单元 e 由母体单元经过变换 F 得到，即 且规定结点（ξ i， ηi）与结点（x i, yi）对应（i=1~4） 。

这样的变换不只一个，利用（5-1-1 ）定义的形函数即可写出这种变换中的一个(1,1)ηξ(-1,-1)１342图 5-1)4~1(4),(iNiii　 　 　 　 　 　 　 　 　),(i ijNiji 　 　 当 　　 　 当 　＝ 10),(i1)1(4)(4 )(,41 ii e： 　(5-1-2)(5-1-1)iiiiiiyNyxx41),(,(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x, y 是 ξ，η 的双线性函数沿母体单元中 η＝常数的直线（坐标线） ，x, y 是 ξ 的线性函数，对应于单元 e 中的一组直线，特别，单元 e 的一组对边 1-2、3-4 为直线类似，ê 中 ξ＝常数的另一组坐标线对应于单元 e 中的另一组直线特别 ， e 的另一组对边 2-3、4-1 也是直线，单元 e 为直边四边形单元 ê 的其他直线（例如对角线 1-3） ，变换到单元 e 中将是一条曲线（图 5-2）（２）Jacobi 矩阵 　Jacobi 　 行列式矩阵称为变换的 Jacobi 矩阵detJ 称为变换的 Jacobi 行列式。

一般情况下，[J] 的元素和 detJ 都是 ξ， η 的函数若 detJ 恒不为零（一般使它恒正） ，则[J] -1 存在，变换 F 存在逆变换 F-1使单元 e 内的任一点（x , y）对应于单元 ê 内的一确定点（ξ，η ） 此时称变换 F 为非奇异的detJ 称为变换特征量detJ 还具有明显的几何意义，如图 5-3 所示设在（ξ，η）处 detJ≠0 在（ξ，η ）附近取一边长为 dξ，dη 的长方形设此长方形与单元 e 内的一个小子区域 dσ 对应，可以证明，此小子域的面积 dσ 在略去高阶微量后有x,uy,v3241 ξ=-1η=1ξ=-1/2ξ=0 ξ=1/2ξ=1η=1/2η=0η=-1/2η=-1图 5-2０ 4141iiiiiiii yNxyxJ (5-1-4)eF： 　1edσê(ξ,η)dηdξ图 5-3dJet(x,y)例　图 5-4 所示的实际单元 e 为边长分别为 2a、2b 的矩形结点坐标为：则由（5-1-3） ，可得出坐标变换为同样得到：表明：当实际单元 e 为矩形时，经坐标变换得到的 x, y 是 ξ，η 的线性函数。

Jacobi　矩阵Jacobi　 行列式在单元内是常数当结点序号按图 5-4 的转向排列时，detJ 恒正３、单元内假设的位移场对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为 u、v，结点（x i, yi）的位移为 ui，v i 实际单元 e　内的假设位移场（Trial function）取为注意，这里 u、v 虽然是用点的自然坐标 ξ，η 表述的，但位移 u、v (以及后面的单元刚度矩阵)却是对总体坐标系的这与第二章中在单元局部坐标系下定义位移场的作法有区别在坐标变换（5-1-3）和假定的位移场（5-1-5）中使用的是同一套变换关系(形函数)，同一套变换参数（与（x i, yi） 对应的结点位移(u i,vi)）满足这一特征的单元称为等参数单元α2a 2b 1 (c,d)4 2 3 ０ xy图 5-4sin2co21adyxcos2ii43bdyx  sincosinco12si12sin2433431 baba NbNNxcoiidycossinibayxJabbaJcossinidet iiiiiivNu41),(,(5-1-5)这样定义单元有不少优点，但也对我们提出了一些新问题。

假定的位移场是 ξ，η 的双线性函数，当实际单元为矩形时，ξ，η 可表示成 x, y 的线性函数，假定的位移场 u、v 是 x，y的多项式但对一般单元而言，ξ，η 不能表示成 x，y 的多项式，因而位移场 u、v 不再是x，y 的多项式，不能直接利用第四章的结果进行收敛性分析４、收敛性分析（１） 单元内位移场连续x、 y、 u、 v 都是 ξ， η 的双线性函数（连续函数） 只要 Jacobi 行列式 detJ≠0，u 、 v就是 x， y 的连续函数即在实际单元内 u、 v 连续２） 刚体位移和常应变条件对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总体坐标的完全一次多项式或者换一个提法：假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场当试探函数直接用总体坐标的多项式描述时（像第四章所做的那样）采用前面一种提法是方便的现在试探函数是用自然坐标表述的，则用后一种提法更合适一些我们定义的形函数满足：设真实位移场为 x， y 的线性函数将 x， y 按（5-1-3）代入，并利用　　　　　　 有注意到　　　　　　　　　 （结点位移的真实值）则有类似有上述论证表明：只要所定义的形函数满足（5-1-6） （不管形函数的具体表达式如何） ，且坐标变换和假定的位移场使用同一组形函数（等参数单元总是如此） ，那么这样假设的位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应变条y,v１ ２３４x,ue’eMs图 5-5１３２êηξ4ξM1),(0,41iiijiiNij　 　 当 　 　　 　 当 　 　 (5-1-6)yxvu654321),(1iiNiiii jiiiiiiyxyu3214 4141iiiuyx321iiuN41iiv41件总可以得到满足。

３） 协调性对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续如图 5-5 所示，考虑一个实际单元 e，它的母体单元为 ê以 1-2 边为例沿 1-2 边 η＝常数，x 、 y、 u、 v 都是 ξ 的线性函数设 e边界上的 M 点与 ê 边界上的 点对应，则 M 到结点１的距离 Ｓ 将是 ξ 的线性函数反过来 ξ 也是 Ｓ 的线性函数，因而 u， v 也是 Ｓ 的线性函数，完全由这个边界上两个结点 1、2的位移值 u1、 u2、 v1、 v2 所决定从另一相邻单元 e’ 看来，沿边 1-2, u、 v 也是 Ｓ 的线性函数完全被结点１、２处的位移值所决定从单元 e 和 e’ 看来沿共同边界 1-2 上的位移处处相同，即在边界上位移是连续的对其他边界可用类似的方法加以证明四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的灵活性和收敛条件（主要是协调条件）之间的矛盾但是一般的四边形单元只能精确地再现线性变化的位移场，有限元空间 Sh 的次数 k－1=1虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意当实际单元是矩形时，ξ ， η 是 x、 y 的线性函数，假定的位移场将是 x、 y 的二次多项式，但只完全到一次多项式，二次项不完全。

这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能例如，在分析图 5-6 的“ 纯弯曲”应力场时，图（a）中的单元将比图（ b）中的单元效果好，尽管还不能说满意提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插值函数阶次5、四结点单元的应用实例及相关限制条件某求解域如图 5-7(a)所示，若将该区域用３个四结点等参元进行离散，母体单元如图 5-7(b)所示图 5-6(b) （a）xy0.01 124342332.0 3.0 5.05.03.02.00.0142 e3y1432 x1e(a) (c)从图中可以看出：１、2 号单元与母体单元的结点编号顺序一致，均为逆钟向，而３号单元的编号顺序为顺钟向；１、３号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单元内部，而单元２是非凸形单元，如连接结点１、３的线段不在单元内下面讨论这些差别在母体单元与实际单元进行映射时的影响在母体单元中形函数如式（5-1-1）,坐标变换关系如式（ 5-1-3） 首先，计算出 Jacobi矩阵中的各元素如下       1141114143241 43241 yyNy xxxNiiiiiiii下面计算出各单元具体的变换关系及 Jacobi 行列式的值单元１：各结点的坐标为 ，则5,3,0,2,04213241 yyxx042101det JJacobi 行列式是 的线性函数，对所有的 值（ ）Jacobi 行列式的值恒为正，因11 ２３４ 01eˆ1234e 253),(,441 32NyNyxiiiiii 图 5-7(b) (d)此，母体单元与单元１的变换是可逆的。

单元２：各结点的坐标为 ，则3,2,0,5,3,243141 yyxx14321detJJacobi 行列式的值沿着直线 为零，母体单元中的阴影部分将映射到实际单元的阴影部分，这部分显然在实际单元之外例如，母体单元中的点 落在阴影部43,分，该点映射到了实际单元的 因此，母体单元与单元２的变90625.1,037.yx换不是可逆的所以内角大于 网格在任何单元中都是不允许的一般来说，有限元网18格中内角过大或过小都是不合适的单元３：各结点的坐标为 则5,3,,,23241431 yyxx02021det JJacobi 行列式的值小于零表示：右手坐标系映射到左手坐标系，这种变换关系在有限元方法中也是不允许的若将单元 3 的结点编号顺序改为逆钟向，即： 5,3,0,5,242141 yyxx2),(3,41iiiiiiyNyx4),(3,41iiiiiiyNyx 4),(2,41iiiiiiyNyx0212det J等参变换成为可逆变换。

§5-2 八结点四边形（直边或曲边）等参数单元１、母体单元　形函数母体单元 ê 仍为边长为２的正方形（图 5-8） 自然坐标系 ξ， η 如图所示在单元中配置八个结点，其中１~４仍位于角点上，５~８则位于各边中点构造出八个形函数 N1~N8如下：验证可知， 　具备以下性质),(iN构造出（5-。