新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题09 导数新定义问题（解析版）.doc

专题09 导数新定义问题一、单选题1．给出以下新定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（       ）A． B． C． D．【解析】对于A选项，，则，不是凸函数；对于B选项，，则，不是凸函数；对于C选项，，则在R上不恒成立，不是凸函数；对于D选项，，则，在定义域上恒成立，是凸函数.故选：D.2．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（       ）A．0 B．1 C． D．【解析】依题意得，，，令，解得x＝1，∵，∴函数的对称中心为，则，∵，∴．故选：A.3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（       ）A．0 B． C．1 D．2【解析】，故选：D4．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（       ）A． B． C． D．【解析】由题意：，所以分别为的根，即为函数的零点，可解得；为单调递增函数，且，所以，令，解得，或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，由，，，，所以，所以.故选：B.5．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A选项，，由可得，解得或，所以，函数有“巧值点”；对于B选项，，由可得，其中，令，其中，则，，由零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以，函数有“巧值点”；对于C选项，，由可得，这与矛盾，所以，函数没有“巧值点”；对于D选项，，因为，所以，函数有“巧值点”.故选：C.6．定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A选项，，则，由，即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；对于B选项，，则，由，可得，其中，令，则，，所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；对于C选项，，则，其中，因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，，则，由，可得，因为，，所以，，所以，方程无实解，D选项不满足条件.故选：D.7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（       ）A．3 B．2 C．1 D．0【解析】函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【解析】因为函数为“阶比增函数”，所以函数在上为增函数，所以令，故在上恒成立，所以在上恒成立，由于，所以.故实数的取值范围是。

故选：A二、多选题9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A，由得，即，，∴该方程无解，∴函数无“巧值点”，故A符合题意；对于B，由得，解得，∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意；对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意；对于D，由得，易知函数与的图象在第一象限内有一个交点，∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意．故选：AC．10．函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（       ）A． B．C． D．【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立．对于A，，则在时恒成立，不符合题意，故选项A错误；对于B，，则恒成立，符合题意，故选项B正确；对于C，，则在时恒成立，符合题意，故选项C正确；对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D错误.故选：BC.11．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（　　）A． B． C． D． 【解析】对于A，由，得，由，得或，所以函数有青山点，所以A正确，对于B，由，得，由，方程无解，所以函数不存在青山点，所以B错误，对于C，由，得（），由于和的图像有交点，所以方程有解，所以函数有青山点，所以C正确，对于D，由，得，由，得，所以有青山点，所以D正确，故选：ACD12．若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上也是减函数，其中是函数的导函数，则称函数是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数的“缓减函数”的是（       ）A． B．C． D．【解析】由题意得．由，得，，即f（x）的单调递减区间为（）．设，则．由，得，即，解得，，即的单调递减区间为（）．由“缓减区间”的定义可得f（x）的“缓减区间”为（）．故选：AD13．定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（       ）A． B． C． D．【解析】对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.对于B，，，，又，对于 ，使得，则恒成立，所以B符合.对于C，，，，又，对于 ，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.对于D，，，，又，对于 ，使得，则，，所以D符合.故选：ABD.14．对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A选项，，满足①，，当时，，则，不满足②，A选项中的函数不满足条件；对于B选项，，满足①，，当时，，则，当时，，则，满足②，令，其中，则，因为，则，，则，故函数在上单调递增，所以，，故当时，，满足③，B选项中的函数满足条件；对于C选项，，满足①，当时，，则，当时，，则，满足②，设，其中，则，即，不满足③，C选项中的函数不满足条件；对于D选项，，满足①，当时，，，当时，，，满足②，设，其中，，所以，函数在上单调递增，故，故当时，，满足③，D选项中的函数满足条件.故选：BD.三、填空题15．函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的序号）【解析】对于①f（x）=2x+3，满足，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，，，故满足，为恒均变函数；对于；③f(x)＝，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于④f（x）=ex ，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足 ，故不是恒均变函数．故应填入： ①②．16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在(1,1)处的切线方程是_________.【解析】，，两边对求导，，，，，切线方程为，即．17．若可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数是区间D上的“稳定函数”．已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．【解析】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.18．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上．则称函数在区间上为“凹函数”，已知在上为“凹函数”则实数m的取值范围为__________．【解析】由题可得，则，在上为“凹函数”，，，在上单调递增，，，即m的取值范围为.19．对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.【解析】由可得，两边求导可得，，由可得，故，当时，，当时，，故的极小值为.20．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极大值，，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.四、解答题21．对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中(1)当时，（i）求f（x）的极值点；（ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：(2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论.【解析】(1)（i）当时，，.当时，恒成立，在上递增，没有极值点.当时，令解得，则在区间递增；在区间递减，所以的极大值点为，极小值点为. （ii）若是的极值点，又是的不动点，则，即，即，代入得 ，，，，，，所以，则(2)，，有两个相异的极值点，也即有两个不同的零点，所以①，.依题意，若是的不动点，则，两式相减得，，，，，这与①矛盾，所以不存在符合题意的.22．已知函数.(1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围；(2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”.已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围.【解析】(1)因为，所以，令，则.由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.故，即.因为在其定义域内是增函数，所以，解得.(2)由（1）可得.设，则.因为在其定义域内是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立.设，则.由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，则，故，解得.因为，所以，即的取值范围是.23．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围．【解析】（1），若函数为上的凸函数，则，即，令，，则当时，，当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单调递增，，，解得：，的取值范围为.（2），，在上有极值，在有变号零点，，令，则，，，在上单调递增，；①当，即时，。