1996年全国高中数学联合竞赛试卷.doc

1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8:00－9:20)一、选择题(本题满分36分，每题6分)1. 把圆与椭圆的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形2. 等比数列的首项,公比,用表示它的前n项之积则最大的是( ) (A) (B) (C) (D)3. 存在整数n,使是整数的质数( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个4. 设,以下三个数,,的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D)5. 如果在区间[1,2]上函数与在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) (B) (C) (D)以上答案都不对6. 高为8的圆台内有一个半径为2 的球，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1. 集合的真子集的个数是 。

2. 复平面上，非零复数在以为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则z2=_______3. 曲线C的极坐标方程是，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色则不同的染色方法共有_______种注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同)6. 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________第 二 试(10月13日上午9:40－11:40) 一、(本题满分25分)设数列{an}的前项和Sn=2an -1(n=1,2,3,L)，数列{bn}满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3L).求数列{bn}的前n项和. 二、(本题满分25分)求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意恒有 . 三、(本题满分35分)如图，圆O1和圆O2与DABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点，求证直线PA与BC垂直. 四、(本题满分35分)有n(n≥5)个人聚会．已知：(1)每个人至少同其中个人互相认识；(2)对于其中任意个人，或者其中有2人认识，或者余下的人中有2人相识．证明：这n个人中必有3人两两相识．。