2021年小题狂做基本不等式及其应用小.docx

学习必备 欢迎下载小题狂做：基本不等式及其应用基础训练题21．以下不等式不肯定成立的是 C2 2A ． a b2ab〔a,b R 〕B． a3 2a 〔a R 〕C． x1 2〔 x R 〕x2 2D． a b a b2 2〔a, b R 〕22．如a, b R ，且 ab0 ，就以下不等式中恒成立的是 D2A ． ab 2ab B ． a b2 ab C． 1 1 2a b abD． b a 2 a b3．已知 a0 ， b0 ， a b2 ，就 y1 4的最小值是 Ca bA ． 724．如 x0 ，就 xB． 4 C． 922 的最小值为 [2 2, 〕 ．xD ．55．如对任意 x 0 ，x a 恒成立，就 a 的取值范畴是 [ 1 , 〕 ．2x 3x 1 52xy20,6．设 x, y 满意约束条件8xy40, 如目标函数zabxy〔a0, b0〕 的最大值为8，就x 0, y 0,a b 的最小值为 4 ．解：当目标函数 z abx y 运动到点A〔1,4〕 时，目标函数 z 取得最大值，即 8ab 4 ，所以 ab4 ，所以 a b2 ab 4 ．例题解析2例 1 设 x, y 为正实数，如 4 x2y xy1 ，就 2x y 的最大值为2 10 ．5222332 x y2282 10〔2 x5y〕max 5解： 4x y xy1 〔2 x y〕 3xy 12xy 1 〔2 2〕 1 〔2 x y〕 ．2例 2 设 a b2 1 10 ，就 a的最小值为ab a 〔a b〕2A ． 1 B ． 2 C． 3 D ． 4解： a2 1 1a2 〔 a b〕 b a 21 a21 a2 1 4 ，当且仅当 b a b 且 a21 ，即 a 2 ， b 2 时ab a〔a b 〕ab〔a b〕b〔a b〕b 〔a b〕 a 22a2 2等号成立，故原式的最小值为 4，选 D ．学习必备 欢迎下载例 3 设 x, y 满意约束条件3 x y60,20,如目标函数 z axby〔a0, b0〕 的最大值为12，就x yx 0, y 0,2 3的最小值为a bA ． 256B ． 83C． 113D． 4解：点 〔 x, y 〕 所满意的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，依据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点 A 处取得最大值，故实数a,b 满意 4a6b 12 ， 即 2a 3b 6 ， y2 3 1故 〔2 a3b 〕2 3 1 6b 6 a131〔13 12〕25，当且仅当 a b6时取等号．A〔4,6〕x y 2 0a b 6a b 6a b 6 6 5例 4 设x, y, z 为正实数，且满意x 2 y 3z0 ，就O2y 的最小值为 3 ．x 3x y 6 0x 3 zy2 x29z 26xz1 x 9zxz1 x 9 z y 2解：由条件可得y ，所以6 2 6 3 ，当且仅当 x y 3 z 时，取得最小值 3．2 xz4 xz4 z x4 z x xz巩固训练1．已知 a0 ， b0 ，且 a b2 ，就 C22．已知x0 ，yA ． 03．已知x0 ，yA ． ab 1B ． ab 122 2C． a b 22 2D． a b 320 ， x, a, b, y 成等差数列，x,c, d , y 成等比数列，就〔a b〕 cd的最小值为 DB ． 1 C．2 D． 40 ，且 2 1 1 ，如 xx y2 y m22m 恒成立，就实数 m 的取值范畴是 DA ． 〔 , 2〕 [4, 〕 B． 〔 , 4〕 [2, 〕 C． 〔 2,4〕 D ． 〔 4,2〕24．已知 t0 ，就函数 y t4t 1 t的最小值为 2 ．5．如 x0, ，就 2tan x 2tan2x 的最小值为 2 2 ．解：由于 x 0,，所以 tan x0 ， 就 2tan xtanx 2tan x1 2 2tan x 12 2 ，当且仅当2tan x1 2，即 tan x 时2 2 tan xtan xtan x 2取等号，所以 2tan xtan2x 的最小值为 2 2 ．x6．以下函数中，最小值为 4 的是 ③ ．① y x4 ；② y xsin x4 〔0 xsin x〕 ；③ y4exe ；④ ylog 3 xlog x 3〔0x 1〕 ．参考例题1．函数f 〔 x〕25 4x x学习必备 欢迎下载在 〔 ,2〕 上的最小值是 C2 xA ． 0 B ． 1 C． 2 D ． 31 〔4 4 x x2 〕 1 1 1解：当 x2 时， 2x 0 ，因此f 〔x 〕 〔2 x 〕 2 〔2 x 〕 2 ，当且仅当2 x 时取等号．而此时方2 x 2 x 2 x 2 x22程有解 x1 〔 ,2〕，因此f 〔x〕 在 〔 ,2〕 上的最小值为 2，选 C ．2．如实数x, y 满意 xy xy1，就 x y 的最大值为 2 3 ．3解：由于 xy1 〔 x y 〕2 ，所以 1 x2 y2 xy 〔 x y〕2 xy 〔x y 〕2 1 〔 x y〕 2 3〔 x y〕2 ，所以 〔 x y〕 2 4 ，所以 2 3 x y 2 3 ，4 4 4 3 3 3当 x y3 时， x y 取得最大值 2 3 ．3 33．如正实数x, y 满意 2 x y 6xy ，就 xy 的最小值为 18 ．解：由基本不等式，得xy 2 2xy 6 ，令 xy t ，得不等式t 2 2 2t6 0 ，解得 t3 2 或 t2 （舍去），故 xy 的最小值为18 ．自我测试1．设 a0 ， b0 ，如 3 是 3a 与 3b 的等比中项，就 1 1 的最小值为 Ba bA ． 8 B ． 4 C． 1 D． 142．已知 x0 ， y0 ， x 2 y2xy8 ，就 x2 y 的最小值为 BA ． 3 B ． 4 C． 92D ． 1123．如正数A ． 245x, y 满意 x3y 5 xy ，就 3xB ． 2854 y 的最小值是 CC． 5 D ． 5解：由于 x3 y 5xy ，所以 1 3 5 ，由于 x0 ，y0 ，所以 〔3 x4 y〕1 3 3x12y13 23x 12 y13 25 ， 所 以 5〔3x4y 〕 25 ，y x y x y x y x所以 3x4 y 5 ，当且仅当 x2 y 时取等号．所以 3xx y4y 的最小值是 5．4．已知x, y R ，且满意 1 ，就 xy 的最大值为 3 ．3 45．从等腰三角形纸片 ABC 上剪下如下列图的两个正方形，其中BC 2 ， AA 90，就这两个正方形的面积之和的最小值为 1 ．2解：设两正方形的边长分别为 a ， b ，就由题可得，a b 1 ，当 a 取最大值时， B C由于该正方形是 Rt △ ABC 的内接正方形，就 3a2 ，所以 a2．当 a 取最小值时，另一个正方形的边长32b ，就 a 31，从而321 a 2 ．同理 1 b 2 ．所以 S a2 b 2 2 a b 1 ，当且仅当时 a b 1 时取等号．3 3 3 3 2 2 222学习必备 欢迎下载6．设x, y R ，且 xy0 ，就 x1 11xy 2 x24 y 的最小值为 9 ．7 ．函数y a 〔 a0, a1〕 的图象恒过定点 A ，如点 A 在直线mx ny1 0〔 mn0〕 上，就1 1的最小值为 4 ．1 xm n解：函数y a 的图象所过的点为A〔1,1〕，又由于 A 在直线mx ny1 0 上，所以 m n1 ，又由于 mn0 ，所以必有 nm0 ， m 0 ， n于是 1 1〔m n〕 1 12 n m2 2 n m4 ，当且仅当 m n1 时取等号，即 1 1 的最小值等于 4．m n m n m n m n 2 m n8．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数就线段 PQ 长的最小值是 4 ．f 〔x 〕2的图象交于xP, Q 两点，解：设直线与函数f 〔 x〕12 的图象交于点x1 2P x, 2x， Q x,22 ，就 | PQ | 〔2 x〕 2 4 4 ．x x9．设 0m ，如2 m1 2mk 恒成立，就 k 的最大值为 ③ ．解：由题。