高等数学定积分及其运用应用.ppt

Oyxx x x x x xabx设yf (x)0 (x[a，b])．A(x) f (t)dtA(x) f (t)dt是以[a, x]为底的曲边梯形的面积．A= f(x)dx 是以[a, b]为底的曲边梯形的面积．§5.4 定积分在几何问题中的应用举例一、定积分的元素法一、定积分的元素法曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx，点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx．Oyxx+dxabAf (x)dx，且Af (x)dxo(dx)．f (x)dx称为曲边梯形的面积元素．x以dx为宽的曲边梯形面积为：A ．以[a，b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间的定积分：A(x) f (t)dtA f (x)dx一般情况下，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间[a，b]上的函数U(x)，再求这一量在[a，b]上的元素d U(x)，设d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)．U  u(x)dx ．注：量U的特点：1：与区间[a,b]有关；2：具有可加性。

微元法的步骤：1：取积分变量并决定其变化区间[a,b]；2：在区间[a,b]上找一小区间[x,x+△x],得微元△U≈f(x)dx=dU，且△U－dU=o(dx)3: 在区间[a,b]上相加(在[a,b]上做定积分)得主要思想：以直代曲；以不变代变二、平面图形的面积Oyxaby=f 上(x)y=f 下(x)x x+dx求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积．面积元素为：所求图形的面积为：[f 上(x)f 下(x)]dx．A= [f 上(x)f 下(x)]dx．1. 1. 直角坐标的情形直角坐标的情形讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？aby=f 上(x)y=f 下(x)OyxA1Oyxaby=f 上(x)y=f 下(x)A2Oxycd x=f 左( y) x=f 右( y)A3A1=A2= [f 上(x)f 下(x)]dx．Oyxab求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差y=f 上(x)y=f 下(x)y=f 下(x)A= f 上(x)dx  f 下(x)]dx．例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积．解 在区间[0, 1]上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记为A(x)， 于是面积元素为得所求的图形面积以[0, 1]为积分区间求定积分011xyx x+dx直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为A(x)y2xyx 2A  ( x 2)dx ，以( x 2)dx为被积表达式，dA = ( x 2)dx ，例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积．解02468x42-2y 2=2xy=x4(8, 4)(2, -2)例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积．解求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)．将图形向 y 轴投影得区间[2，4]．A(y)为区间[2，4]上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积．直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为于是面积元素为所求的图形面积为A  (y  4  y2)dy ，dA = (y  4  y2)dy ，02468x42-2y 2=2xy=x4(8, 4)(2, -2)解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．因为面积元素为ydx，于是A 4A1 a b．椭圆的参数方程为:yb sin t ，xa cos t ，yxOabydx所以2. 极坐标的情形•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．•曲边扇形的面积为xO r ()  +d •曲边扇形的面积元素：例4 计算阿基米德螺线ra (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积．解Ox2ara d  例5 计算心形线ra(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积．解Oxra(1cos )2a) d 三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体．Oxbayyf (x)aOxbyyf (x)设过区间[a，b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x)，旋转体的体积为dV  [f (x)]2dx ，于是体积元素为V[f (x)]2dx ， 当平面右平移dx后，体积的增量近似为V (x)dxf (x)x 例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体．计算这圆锥体的体积．体积元素为解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 ．dV ( )2dxhrxyO所求圆锥体的体积为V ( )2dx [ x 3   h r 2 ．及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．旋转体(旋转椭球体)的体积．体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV y 2dx ，例2 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆V  y 2dx (a 2x 2)dx [a 2x  x 3  a b 2．ab课堂练习：求y=sinx在x=π/2处的切线及x=π所围图像 绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

解：2. 平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a，b]，xyObadx则体积元素为A(x)dx ，立体的体积为面与立体相截，已知截面面积为A(x)，V A(x)dx ．A(x)过点x 且垂直于x轴的平x例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面 交成角．计算这平面截圆柱所得立体的体积．解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心 且垂直于x轴的直线为y轴．那么底圆的方程为x 2 y 2R 2．于是所求的立体体积为)yxO)R-Rx 2 y 2R 2截面积为A(x) (R 2x 2)tan a ，V  (R 2x 2) tan a dx tan a [R 2x x 3 R 3tan a ．四、平面曲线的弧长定理 光滑曲线弧是可求长的．设A，B 是曲线弧的两个端点． 在弧AB上任取分点)AM0，M1，M2，··· ，Mi1，Mi，··· ，Mn1，MnB ，并依次连接相邻的分点得一内接折线．当分点的数目无限增加极限存在，且每个小段Mi1Mi都缩向一点时，是可求长的．则称此极限为曲线弧AB的弧长，M0MnABM1M2Mn1如果此折线的长 |Mi1Mi|的 )并称此曲线弧AB1. 直角坐标的情形设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数．曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为，弧长元素(即弧微分)为已知曲线的弧长为s MxdxdyM x+dxsM0x0xyOyf(x)ds，s．讨论：(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() (     )给出，其中r()在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？(1)设曲线弧由参数方程(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？(   t   )给出，其中设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数，则ds，s．解因此，所求弧长为yx 1/2， 从而弧长元素例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度．ds，s，解从而弧长元素为ds因此，所求弧长为s长度．xyO -b bc例2 计算悬链线 上介于xb与xb之间一段弧的．．课堂练习解：2. 参数曲线的情形设曲线弧由参数方程其中(t)、(t)在[，]上 具有连续导数．如图dx(t)d t ，所以弧长元素为所求弧长为(   t   )(t)d tds，s．解所求弧长为8a ． a2 a2axyO弧长元素为x ( )a (1cos  )，y ( )a sin  ．例3 计算摆线的一拱(0  2 )的长度．ds．s3. 极坐标的情形设曲线弧由极坐标方程给出，其中r()在[，]上具有连续导数．由直角坐标与极坐标的关系可得r = r() (     )于是得弧长元素为从而所求弧长为ds，s．解ds于是所求弧长为例4 求阿基米德螺线ra (a>0)相应于 从0到2 一段的弧 长．s弧长元素为r( ) a． Ox2ara ，．课堂练习解：§5.6 定积分在物理中的应用举例解于是所求的功为Wq1Orabr r+dr1例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知 道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(aa ．如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a，)上的广义积分，即如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间[a，)上的广义．一、无穷限的广义一、无穷限的广义( (反常反常) )积分积分(generalized integral)(generalized integral)类似地，设函数f(x)在区间(，b ]上连续，取a0)当p>1时收敛，当p1时证 当p1时，当p1时，例：讨论反常积分的收敛性都不存在，所以反常积分发散二、无界函数的广义积分定义2 设函数f(x)在区间(a，b]上连续，而在点a 的右邻域内无界．取>0，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a，b]上的广义积分，仍然记作即，如果上述极限不存在，就称广义积分 发散．这时也称广义积分 收敛．类似地，设函数f(x)在区间[a，b)上连续，而在点b 的左邻域内无界．取>0，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在[a，b)上的广义积分，仍然记作即，如果上述极限不存在，就称广义积分 发散．这时也称广义积分 收敛．设函数f(x)在区间[a，b]上除点 c(a1时，当p<1时，求反常积分解：说明：对于在无穷间断点，及无穷远处极限 存在的反常积分，可像定积分一样作换元计算作业：P317 1(2 、4、5、8)。