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高中数学竞赛数论专题A类例题例1．设p是给定的奇质数，正整数k使得 也是一个正整数，求正整数k分析 是一个正整数，即k2－pk是一个完全平方数为了配方，考虑4(k2－pk)是一个完全平方数，从而可以得到勾股方程解 由题 是一个正整数，则k2－pk是一个完全平方数，设k2－pk=m2，m∈N*，则 4(k2－pk)= 4m2，∴ (2k－p) 2=p2+ 4m2， ∴ (2k－p) 2－4m2 = p2，∴ (2k－p－2m)(2k－p+2m) = p2，(2k－p)∵ (2k－p+2m)＞0，(2k－p－2m)＜(2k－p+2m)，且 p是给定的奇质数，∴ 2k－p－2m=1且2k－p+2m= p2，∴ 4k－2p=1+ p2，即 4k=(1+p)2，由于k＞0，∴ 2k=1+ p，k= ∈N*说明 本题中，p是已知数，k是未知数，所求的是用p表示出k借助m=列出不定方程，其中不定方程可以转化为未知数的平方差型，于是问题可解例2．求所有的整数n，使得n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数． 分析 n是整数，对多项式n4+6n3+11n2+3n+31配方，如果恰好是一个n的多项式的平方，则所有的整数n都是解，问题就已经解决；否则对配方以后多出的部分进行估计讨论。

很显然，本问题配方以后会有多出的部分解 设A＝n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数，则配方后A＝(n2+3n+1)2―3(n―10)是完全平方数．当n＜10时，A＜(n2+3n+1)2，所以A≤(n2+3n)2，∴ A―(n2+3n)2＝(n2+3n+1)2―3(n―10)―(n2+3n)2≤0，即 (n2+3n+1)2―(n2+3n)2≤3(n―10)，∴ 2n2+3n+31≤0，这不可能．当n=10时，A＝(102+310+1)2=1312是完全平方数当n＜10时，A＞(n2+3n+1)2，若n≤－3，或n≥0，则n2+3n+1≥0，于是A≥(n2+3n+2)2，化简得2n2+9n－27≤0，∴ －7＜≤n≤＜3，∴ n=－6，－5，－4，－3，0，1，2，此时对应的A=409，166，67，40，31，52，145都不是完全平方数．若n=－2，－1，与之对应的A=37，34也都不是完全平方数．所以，只有当n=10时，A是完全平方数．说明 A是完全平方数，配方后(n2+3n+1)2也是完全平方数，若A等于(n2+3n+1)2，配方多出的多项式应该等于0；若A不等于(n2+3n+1)2，配方多出的多项式应该大于或小于0，但此“多余的”式子是一次的，不能反映出较多的信息，必须进一步估计范围。

例3．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，若相邻若干个数之和能被11整除，则这些数组成一个数组，这样的数组共有_________个分析 若干个数的和被11整除，只要考虑这些数模11的剩余的和被11整除即可，为了计算简单，这些剩余的绝对值应该尽量的小而相邻若干数的和，常常与数列前n项的和Sn相关答 7个把各项先减去11的倍数，使数字变小易于计算由此有如下数列：1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1设其前n项之和为Sn，则S1＝1，S2＝5，S3＝2，S4＝1，S5＝6，S6＝3，S7＝2，S8＝5，S9＝2，S10＝1其中相等的有S1＝S4＝S10＝1，S2＝S8＝5，S3＝S7＝S9＝2，这样有7组差S4―S1，S10―S1，S10―S4，S8―S2，S7―S3，S9―S7，S9―S3为0，即共有7组能被11整除说明 数列a1，a2，……，an中，连续若干项的和ak+1+a k+2+…+am就是Sn―Sk例4．已知a、b、c为正整数，且是有理数证明：是整数分析 是有理数，其中隐含着正整数a、b、c的关系，找出a、b、c的关系，进一步推出a+b+c是a2+b2+c2的约数。

证明 因为为无理数,故, b－c≠0，于是 = = ，上式表示有理数，则有b2－ac=0从而 a2+b2+c2=(a+b+c)2－2ab－2bc－2ca=(a+b+c)2－2(ab+bc+b2)=(a+b+c) (a－b+c).故 = a－b+c∈Z说明 是有理数，其分子、分母中的无理数应该可以约去，注意到a、b、c为正整数，有 = 即可，也即b2=ac情景再现1．已知a、b、c、d均为正整数，且logab=，logcd=若a－c=9，则b－d= 2．一组相邻的正整数，其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除，则这组数最多有_______个3．将一个四位数的数码相反顺序排列时为原来的4倍，求原数4．由7个数字0，1，2，3，4，5，6组成且能被55整除的最小七位数是 ；B类例题例5．证明：不存在正整数n，使得2n2+1，3n2+1，6n2+1全都是完全平方数分析 完全平方数有诸多性质，推理过程中容易找到方向譬如若2n2+1，3n2+1，6n2+1全都是完全平方数，则两两的乘积 (2n2+1)(3n2+1)=6n4+5n2+1，(2n2+1)(6n2+1)=12n4+8n2+1和(3n2+1)(6n2+1)=18n4+9n2+1都是完全平方数，但其中任意一个都可以是不矛盾的。

而三个数的积(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)=36n6+36n4+11n2+1是完全平方数则有可能出现矛盾注意36n6+36n4+11n2+1=9n2(4n4+4n2+1)+2n2+1=9n2(2n2+1)2+(2n2+1)，若乘一个平方数36n2即可以配方证明 若题中结论不真,那么,此三数均为完全平方数,则三个数的积(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)=36n6+36n4+11n2+1是完全平方数 ∴ 36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)是完全平方数，即36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)= 36n2 (36n6+36n4+11n2+1) =36n2 [9n2(2n2+1)2+2n2+1] = (18n2)2(2n2+1)2+36n2(2n2+1)=(36n4+18n2+1)2－1是完全平方数36n4+18n2+1)2是完全平方数，(36n4+18n2+1)2－1也是完全平方数，两个正整数的平方相差1，这是不可能的所以题中结论成立说明 否定型命题，适合用反证法处理例6．2005！+2，2005！+3，……，2005！+2005这连续的2004 个整数构成一个数列，且此数列中无质数。

是否存在一个由2004 个连续整数构成的数列，此数列中恰有12 个质数？ 分析 条件中给出了一个重要的特例，由于当k∈N、2≤k≤2005时，总有k | 2005！，所以2005！+k总是合数而1，2，3，……，2004中质数个数超过12个考虑数列a，a+1，a+2，…，a+2003和数列a+1，a+2，…，a+2004中的质数个数变化解 考虑数列a，a+1，a+2，…， a+2003 和数列a+1， a+2，…，a+2004中的质数个数 若a和a+2004均为质数或均为合数,那么,这两个数列中的质数个数相等; 若a和a+2 004中有一个是质数,则两个数列中的质数个数差1. 已知数列1，2，…，2004中质数从小到大有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，……质数个数超过12个，而对于a，a+1，a+2，…，a+2003，当a=2005!+2时，此数列中无质数所以,存在一个b(1

例7．已知m、n、k为自然数，m≥n≥k，且2m+2n－2k是100的倍数，求m+n－k的最小值．分析：2m+2n－2k中有因数2k，又2m+2n－2k是100的倍数，2m+2n－2k是4的倍数且是25的倍数，求m+n－k的最小值可以去掉因数2k后逐个试验解 设2m+2n－2k =100t(t∈N)，若n=k，则得2m=100t，不可能， ∴ n>k．∴ 2k(2m－k+2n－k－1)=2252t．由2m－k+2n－k－1为奇数，∴ k≥2．取m－k=p，n－k=q，(04(∵ 24+23<26)，取p、q值试验： p56789102p326412825651210242q的可能值12，6248，9820+50k，k=0，1，2，3，414+50k，k=0，1，2，……，92+50k，k=0，1，2，……，20．其中p=9时有解q=6，使m+n－k=p+q+k=17；再对p<15的值试验，得p=10，q=1使m+n－k=p+q+k=13．而p>10时p+q+k>13．∴ 最小值为13．说明 求多元变量的最小值的命题时，可以在充分讨论限制条件后逐个试验求解。

情景再现5．证明：15∤n2+n+2．6．按如下的规则构造数列1，2，3，4，0，9，6，9，4，8，7，…，从第五个数字开始，每1个数字是前4个数字的和的末位数字问 （1）数字2，0，0，4会出现在所构造的数列中吗？ （2）开头的数字1，2，3，4会出现在所构造的数列中吗？ 7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱nC类例题例8．找出满足(a+b) (b+c)(c+a)+(a+b+c)3=1－abc的全部整数a，b，c，并作出必要的推理说明分析 这是是三元三次的不定方程问题，把等式整理为a，b，c的整（一次）多项式的乘积等于整数，考虑该整数的因数分解解1 设s =a+b+c，及P(x)=(x－a)(x－b)(x－c)=x’－sx2+(ab+bc+ca)x－abc．则 (a+b)(b+c)(c+a)=P(s)=(ab+bc+ca)s－abc．于是，题设等式可整理为(ab+bc+ca)s－abc=－2s3+2－2abc，即 －s3－s3－(ab+bc+ca)s－abc+2=0，即P(－s)+2=0． s 用a+b+c代入即得 (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=2．易看出上式左边某个因子是2，另外两个因子1，l(或－l，－1)，或者某个因子是－2，另外两个因子是1，－l(或－l，1)． 当因子2a+b+c是2时，有 或 分别解得a=l，b=0，c=0和 a=2，b=－l，c=－1．当因子2a+b+c是－2时，相应的两个方程组可导出4(a+b+c)=－2，显然，该方程组没有整数解(a，b，c)． 由于方程关于a，b，c是对称的，于是，(a，b，c)的全部可能的值为 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(2，－1，－1)， (－l，2，－1)，。