D12无穷级数知识讲解.ppt

1,微积分虽然是研究函数的有力工具,,本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如,工具就是无穷级数.,有限形式.,导数的和.,无穷小的和仍是无穷小;,限性,,如:有限个,即一般要求问题本身具有有限形式.,但也有其局,有限个函数和的导数等于,不具有,有些函数的原函数不是初等函数,,本章将借助于新的工具来研究函数,,这个,2,引例： 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,,,内接正三角形面积,,ak 表示边数,增加时增加的面积,,则圆内接正,边形面积为,3,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,,,第十二章,5,1.定义：,给定一个数列,将各项依,即,称为(常数项)无穷级数.,(1)第 n 项,叫做级数的一般项.,(2)级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加所构成的式子：,其中,说明：,(3)称 为级数的部分和数列.,简记为,一、常数项级数的概念,6,即,并记作：,或者称该级数没有和.,2.级数的收敛与发散：,有极限s,,如果级数,部分和数列,注意：,(1)常数项级数收敛(发散),存在(不存在).,即数列 收敛(发散),收敛与发散二者必居其一.,(2)给定一个级数，,级数收敛时才有和，发散时就没有和.,7,余项:,(3)如果级数,收敛于s，,s 叫级数的和.,即,这时：,其误差为,显然,存在,8,3.级数的敛散性举例：,解：,所以级数的部分和为：,例1.,所以原级数发散.,9,例2. 讨论等比级数,(又称几何级数),解：,收敛,发散,发散,的敛散性.,级数变为,10,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,不存在 , 因此级数发散.,综上,收敛，,发散，,收敛；,收敛；,发散；,发散.,如：,其和为1.,级数变为,11,解：,所以级数的部分和为：,例3.,判断级数,的敛散性.,所以原级数发散.,注意：,判断敛散性的方法(定义法)：,(1)找,(2)求极限,12,解：,例4.,判断级数,的敛散性.,若收敛,求其和s.,所以级数收敛，,和 s =1.,即,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,13,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 s ,,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c s .,说明: (1)级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c s .,(2)分配律对收敛级数成立；收敛级数可提取公因式.,14,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,15,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,,不一定发散.,例如,,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .也说明加法的交换律及结合律在级数收敛的条件下是成立的.,(用反证法可证),即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散,如,求级数,的和.,16,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,极限状况相同,,故新旧两级,所得新级数,时，,说明: (1) 收敛,收敛,(2),类似地 可以证明在级数前面加上有限项不影响级数,的敛散性，,但影响收敛级数的和.,17,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,,逆否命题: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,例如,18,例5.证明调和级数 是发散的 .,解: 考虑加括号后的级数,即加括弧后的级数发散 ,,从而原级数发散 .,19,证:,性质5：,如:,级数,收敛，,当,时,,则有,注意：,1.反之不成立( 是级数收敛的必要条件不充分),但它是发散的.,但它是发散的.,20,2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题),所以是发散的.,,发散.,发散.,都是发散的.,21,常数项级数的基本概念,基本审敛法,对收敛级数而言.性质2，性质4,对一般级数而言.性质1，性质3,常数项级数收敛(发散),存在(不存在),1.由定义：,存在(不存在),级数收敛(发散)；,3.按基本性质,内容小结,22,基本性质,性质1,不变.,敛散性,级数的每一项同乘一不为零的常数,,性质2,设两级数收敛,则级数,收敛，,其和为,在级数前面加上（或去掉）有限项不影响,性质3,级数的敛散性, 但影响收敛级数的和.,性质4,收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于,原来的和.,23,收敛的必要条件,几个重要级数的敛散情况,1.等比级数,收敛,,发散.,2.调和级数,是发散的.,24,思考题：判断级数 的敛散性.,解答：,所以原级数发散.,课堂作业：P254 :4,预习：P256-P261,25,课堂作业：P254 :4 判定下列级数的收敛性.,26,27,28,级数的基本概念,级数收敛(发散),存在(不存在),复习,几个重要级数的敛散情况,1.等比级数,2.调和级数,是发散的.,收敛的必要条件:,29,基本审敛法,对收敛级数而言：性质2，性质4,对一般级数而言：性质1，性质3,1.由定义：,存在(不存在),级数收敛(发散);,3.按基本性质,(1)若,发散(收敛)，,则 发散(收敛).,(2)若,发散，,则 发散.,收敛，,(3)若,发散，,则去括弧后的级数发散.,注意：以上方法对任意项级数都适用.,,如：,30,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,31,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理1,所以,部分和数列 为单调增加数列.,,特点：,正项级数收敛,若,收敛 ,,故有界.,则 收敛，,32,2.正项级数收敛的充要条件:,定理1,,正项级数收敛,部分和数列,有界,,故,从而,又已知,单调递增,,收敛 ,,也收敛.,推论：正项级数,发散,证:,33,例1.,解：,由于该级数为正项级数，且其部分和为：,由定理1知原级数收敛.,即部分和数列 有界.,34,3.定理2(比较审敛法),且,，则,收敛；,,发散.,,证明(1)：,即部分和数列有界,定理证毕.,(2)是(1)的逆否命题.,35,均为正项级数，,,,(常数 k 0 ),,则有,若强级数收敛,则弱级数也收敛,若弱级数发散,则强级数也发散,,36,证明：,例2.,证明级数,是发散的.,而级数,发散，,对一切正整数成立.,37,解：,由图可知,例3.,,,,,,,38,由此知:,推论：若存在,对一切,发散；,收敛.,39,重要参考级数：,使用比较审敛法：,须找参考级数.,（经验：猜敛，找敛;,猜散，找散）,调和级数,是发散级数.,,几何级数,P-级数,调和级数.,40,例4.,解：,试判定级数,的敛散性.,而级数,是几何级数，,公比,收敛，,所以级数,由比较审敛法知：,级数,是收敛的.,是正项级数吗？,41,例5.,解：,试判定级数,的敛散性.,而级数,是P-级数，,收敛，,所以级数,42,4.比较审敛法的极限形式:,则,有相同的敛散性；,,,如果,都是正项级数,所以级数发散.,而,发散，,定理3：,43,证: 据极限定义,,由比较审敛法知：,同时收敛或同时发散 ;,(1) 当0 < l <+时,,(2) 当l = 0时,,由比较审敛法知：,收敛 ,,若,(3) 当l = +时,,即,由比较审敛法知：,当 时,,当 时,,44,2) 特别取,可得如下结论 :,对正项级数,,,,注:,1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.,是两个正项级数,,两个级数同时收敛或发散 ;,也收敛 ;,也发散 .,,定理6,45,例6. 判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛.,的敛散性.,例7. 判别级数,解:,,,故原级数收敛.,收敛，,46,比值审敛法 ( Dalembert 判别法),为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证:,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,5.定理4,当 时,,所以级数 收敛.,47,因此,所以级数发散.,说明: 1.当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,2.条件是充分的，而非必要条件.,(2),当 时,,,48,例8.,解：,49,例8.,,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,解：,50,例9. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据比值法可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,当 时,,当 时,,当 时,,级数变为：,故发散.,说明：,(1)比值法主要适应于通项中含,时比值法失效，应改用其它审敛法.,之积的级数.,51,根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,5.定理5,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明：,(1)根值法主要适应于通项中含,时根值法失效，应改用其它审敛法.,例如 , p 级数,但,,级数收敛 ;,级数发散 .,52,所以原级数级数收敛.,例10. 判断下列级数的敛散性：,解:,所以原级数收敛.,原级数收敛.,53,1.正项级数的定义:,2.正项级数的审敛法,定理1,正项级数收敛,内 容 小 结,(2)比较审敛法(不等式形式；极限形式),(3)比值审敛法(达朗贝尔DAlembert 判别法):,(4)根值审敛法 (柯西判别法)：,作业：P268 1 (2), (4) ; 2 (1),(3); 3 (2); 4(1), (3),(5),预习：P262-P268,54,1.正项级数的定义:,2.正项级数的审敛法,(2)比较审敛法(不等式形式),复习,(3)比较审敛法(极限形式),(4)比值审敛法(达朗贝尔 判别法),(5)根值审敛法 (柯西判别法),55,,,必要条件,发散,,满足,比值审敛法,根值审敛法,,收敛,发散,,不确定,比较审敛法,用其它法判别,性质法,定义法,,3.判别正项级数敛散性的方法与步骤：,56,几何级数,调和级数,是发散级数.,,P-级数,4.重要级数：,57,5.正项级数审敛法小结,1.定义法：,3.性质法.,4.利用重要级数.,5.充要条件.,6.比较法（有不等式与极限形式）.,7.比值法.,8.根值法.,适用于任意项级数,只适用于正项级数,58,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,59,一、交错级数及其审敛法,1.定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,或,2.交错级数审敛法(莱布尼茨定理),定理7,(i),(ii),则原级数收敛，,且其和,60,满足收敛的两个条件,,证明：,定理证毕.,又,所以级数收敛于和s，,且,余项,61,解: (1),且满足,由莱布尼兹判别法知级数 收敛.,例1.,62,例1.,解: (2),是交错级数，,且满足,由莱布尼兹判别法知级数 收敛.,63,解: (3),且满足,由莱布尼兹判别法知级数 收敛.,设,例1.,64,例2.,解:,不存在,该级数是交错级数，,65,注意：,(1)莱布尼茨审敛法只适用于交错级数.,虽满足莱布尼茨审敛法的,条件，,但不收敛.,(2)莱布尼茨审敛法只能判别交错级数的收敛，,不能判别交错级数的发散.,(3)满足莱布尼茨审敛法的条件的级数，,叫莱布尼,茨型级数.,66,(4)验证交错级数的条件 的方法,利用单调性:,利用 的单调性,(5)收敛。