第-05-讲-开放探索题解法(高中版).doc
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第 5 讲 开放探索题解法（高中版） （第课时）神经网络准确记忆！开放探索题 重点难点好好把握！重点：创造性思维方法难点：选择合适的方法和探索的经验技巧，形成解决问题的思路考纲要求注意紧扣！1．勇于探索，自主探索，积极探索；2．能解决开放探索问题命题预测仅供参考！在试卷中开放探索题大约占15分左右可以涉及各种知识以及各个层面考点热点一定掌握！开放探索题是指那些题目条件条件多余或不足、结论不明确或不唯一、解题方法多样，能给学生留有较大探索余地的问题开放探索题主要考察学生的创新意识开放探索题的特点：形式新，解法活、无固定解题模式开放探索题的分类：按开放的对象可分为: 条件开放型（条件多余或不足），结论开放型（结论不明确或不唯一），策略开放型（解题方法多样），综合开放型（条件、结论、策略的综合）；按解题目标的操作模式可分为: 规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,是否存在型，类比创新型常见的出题方式有三种：第一种做法是从课本上的一些题目出发，引申出开放题。
我们平时所做的题目，大多是具有完备的条件和确定的答案命题者往往会对原有问题加以改造，形成开放题第二种做法是为体现某一种数学研究方法而编写开放题第三种做法是从学生所学的知识结构的交汇点切入编写开放题所谓交汇点，其实质就是中学数学内容中没有遇到过的新知识，可以是新概念、新定义、新定理、新规则、新情境，并且这些信息有可能不是直接给出的，要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息、新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力开放探索题的解题指导思想：对问题进行全面观察、分析、尝试、判断、归纳，以充分揭示问题的本质特征组织相应的原材料，选择合适的方法和探索的经验技巧，形成解决问题的思路，然后进行表达、修正、创新开放探索题的常用解法：（1）直接求解；（2）观察→猜测→证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊→般→特殊1．条件开放型探索题条件开放型探索题实质上是寻找使命题为真的充分条件或充要条件我们往往采用分析法，即先假设结论成立，从结论和部分已知的条件入手，导出所需的条件。
需要注意的是，这一类问题所求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件例.（高二）在四棱锥中，四条侧棱长都相等，底面是梯形，， 为保证顶点P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．分析： 观察条件，由于四条侧棱长相等，所以，顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等．即梯形有外接圆，且外接圆的圆心就是O．显然梯形必须为等腰梯形观察结论，结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧不难发现，应该为钝角三角形故当（且AC>BC）时可满足条件点评：①本题为条件探索-问题探究型题目，同时考查空间想象能力本题结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件②其余等价的或类似的条件也可以2．结论开放型探索题对于结论开放的探索题，结论往往不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需要通过特例归纳解决这一类问题，要注意使用类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法是否存在型问题属于结论开放题，相对于其他的开放题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论），所以往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。
探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性例.（高一）已知奇函数的定义域为R，且在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)> 对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由解：∵ 是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴ 是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0，设t=cosθ，则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正，∴ 当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0 4－2
例.（高三）设等比数列的公比为 ，前项和为，是否存在常数，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由分析：设存在常数， 使数列 成等比数列∵ ，∴ ，(i) 当 时， 代入上式得 ， 即 =0 ，但 , 于是不存在常数 ，使成等比数列；(ii) 当 时， ， 代入上式得 ，∴ 综上所述 , 存在常数 ，使成等比数列点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查数列等比数列n项求和公式中注意公比 的 情 形oyxBAP例.（高三）如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为： 1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值； o（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围分析：（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，∴ |PA| －｜PB| = 2 ，∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x ≥1） ，若 , 则l的方程为双曲线的右准线, ∴ 点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2 。
2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得 ，由 ， 解得 ＞３ ，∴ ｜PQ｜＝ ，当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６ ，∴ ｜PQ|的最小值为６3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△，∴ R到直线l的距离｜RC|＝ ① 又∵ 点P、Q都在双曲线 上，∴ ，∴ ，即 ，∴ ② 将②代入①得 ，｜PQ｜＝２－４a≥6 ，故有 ａ≤－１ 点评：本题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查轨迹方程例.（高三）已知数列在直线x-y+1=0上，⑴ 求数列{an}的通项公式；⑵ 若函数求函数f(n)的最小值；⑶ 设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明；若不存在,说明理由解：（1）∵ ， （2） , , . （3）, . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立点评：本题属于结论开放-规律探索是否存在型题目，同时考查数列事实上, 数列{an}是等差数列。
3．策略开放型探索题一般的题目，题型与方法是相对固定的，所以解题者可以根据题目的条件和结论的特点，确定解题策略但有些题目，并不是按照“题型加方法”的思维定势编拟的这些题目的背景比较新颖，解题的方法比较开放，有时甚至需要实际操作和巧妙设计这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策例.（高二）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）分析：本题为策略开放题，由于四面体的棱长未一一给出，故首先需要学生自己构造符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论由于本题只要求写出一个可能的值，所以，我们应该尽量构造相对简单、易求值的图形，例如底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2不难算得，此时体积为点评：本题属于策略开放-数学建模型题目，同时考查体积的计算作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2。
通过简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2综上所述，共有3种情况，如下图所示：其体积分别为：4．综合开放型探索题有些题目条件、结论与解题策略都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自已寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理例.（高一）设f(x) 是定义域为R的一个函数，给出下列五个论断：① f(x)的值域为R；② f(x)是R上的单调递减函数；③ f(x)是奇函数；④ f(x)在任意区间[a, b] (a
点评：本题属于综合开放-问题探究型题目，同时考查对于函数性质的理解例.（高二）已知是实数，给出下列四个论断：（1）； （2）；（3）； （4） 以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．分析：显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：同号在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）点评：本题属于综合开放-情景研究型题目，同时考查不等式的性质对于这一类只给出了一个特定的情景，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想在给定的情境中自己去假设。
