【北京市特级教师同步复习精讲】北师大版八年级数学下册特殊三角形 课后练习.doc

特殊三角形课后练习主讲教师：傲德题一： 如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．题二： 如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．题三： 如图，已知等边△ABC的边长为2，BD是AC边上的中线，E为BC延长线上一点，且CD=CE，则DE= ．题四： 如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是 ．题五： 如图，大小不等、形状相同的两个三角板（等腰直角）△OAB和△EOF摆拼在一起，它们的直角顶点重合，连结AE、BF，你认为线段AE、线段BF有怎样的关系？证明你的结论．题六： 如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．题七： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=30°，∠BAC=90°，求∠DAE的度数．题八： 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，，AD平分∠BAC，交BC于点D．求AD的长．题九： 如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长．题十： 如图，三角形ABC中，AD是BC边上的中线，其中，AC=17，BC=30，AD=8，请说明AB=AC．题十一： 如图，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，点D是BC延长线上一点，连结CE，求证：BD=CE．题十二： 已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△MNC是等边三角形．题十三： 已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一个大于．题十四： 平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上．求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．特殊三角形课后练习参考答案题一： 见详解．详解：证明：作AF⊥BC于F，∵AB=AC（已知），∴BF=CF（三线合一），又∵AD=AE（已知），∴DF=EF（三线合一），∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．题二： 见详解．详解：∵∠ADC+∠BDC=180°，∠BEC+∠AEB=180°，又∵∠BDC=∠CEB，∴∠ADC=∠AEB．在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB=AC．∴AB-AD=AC-AE．即BD=CE．题三： ．详解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，BD是AC边上的中线，∴∠ACB=60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，，∴，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E．∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E=60°，∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBE=∠DEB=30°，∴，故答案为：．题四： ．详解：△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED，∴∠CED=30°，△BDE为等腰三角形，，∴，故答案为．题五： AE=BF，AE⊥BF．详解：AE=BF，AE⊥BF，证明：∵△AOB和△EOF是等腰直角三角形，∴OA=OB，OE=OF，∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOB-∠EOB=∠EOF-∠EOB，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴AE=BF，∠EAO=∠FBO，延长AE交OB于M，交BF于H，∵∠AMO=∠BMH，∠EAO=∠FBO，∴∠BHM=∠AOM=90°，∴AE⊥BF．题六： 能组成直角三角形，斜边为EF．详解：如图，延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD，在△ADF′和△BDF中，，∴△ADF′≌△BDF（SAS），∴AF′=BF，∠B=∠DAF′，∵∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°，即∠EAF′=90°，又∵DE⊥DF，∴EF′=EF，∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．题七： 15°．详解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠BAD=45°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°∵∠B=30°，∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∴∠BAE=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=60°-45°=15°，答：∠DAE的度数为15°．题八： 4．详解：在Rt△ABC中，∠B=30°，，∴，∠BAC=60°，又∵AD平分∠BAC，∴，∴，AD=2DC=4．所以AD的长为4．题九： 7．详解：∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴，∴BD=BC-CD=32-25=7．题十： 见详解．详解：，∵CD2+AD2=225+64=289=AC2，∴三角形ADC是直角三角形，且∠ADC是直角．∵AD既是BC边中线，又是BC边垂线，∴三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．题十一： 见详解．详解：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．题十二： 见详解．详解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，∠DCE+∠BCD=∠BCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，∴△MNC是等边三角形．题十三： 见详解详解：∵a+b+c=0，∴a、b、c必有一个正数，不妨设c＞0，a+b=-c，．这样a、b可看作方程的两实根．，即．所以a、b、c中至少有一个大于．题十四： 见详解详解：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．。