数形结合的11种应用（杨法广）.doc

数形结合的11种应用濮阳市油田第三高级中学 杨法广 邮编 457001数与形是数学中最基本的研究对象，在一定条件下可以相互转化，数形结合就是运用图形来简化解题思路作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某种属性，或借助于几何图形的直观性来阐明数之间某种关系，即“以数解形”或“以形助数”我国著名数学家华罗庚先生曾这样形容“数”与“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事休几何代数统一体，永远联系莫分离这是对数形结合思想方法最通俗、最深刻的剖析结合教学实际，下面主要对第二种情形的应用加以解析，仅供参考1、解方程例1、已知方程与方程的根分别是、，求+的值解：设，，，在同一直角坐标系中作出、、的图像（如图）由于与互为反函数，直线与直线y=x垂直，因此点P()与Q(log)关直线y=x对称，故又因为，故一般地，超越型与代数型函数混合式的方程等多用图解法老师在教学过程中，必要时应对学生给以点拨，通过类比联想，提供思维线索，有意识的运用数形结合思想解决问题 2、解不等式及简单的线性规划。

解不等式的问题可归结为求图像的交点所划分的区域 例2:、已知a>0，解关于的x不等式> x-1解：设，在同一坐标系中分别作、的图像，如下图所示图像的变化情况，由图像可知，当02时，原不等式的解是x<1-a+;例3、在下列条件下，，求目标函数f=5x+3y的最大值和最小值解：不等式组在平面上表示的区域A如图阴影部分所示将目标函数f=5x+3y改写成，原命题在区域A里寻找一点（x,y），使得过这点的斜率为的直线的纵截距最大，显然过区域A的顶点M的斜率为的直线的纵截距最大，从而点M的坐标(x,y)使目标函数f达到最大值，点O的坐标(0,0)使目标函数f达到最小值，由M()，目标函数的最大值为f=，目标函数的最小值为f=03、确定方程根的个数： 例4、方程80sinx=x有多少个实根？解：在同一坐标系中，分别作= sinx，=的图像，由于|x|80,而25<80<26,故、的图像交点应落在(-26,26)之间在y轴右侧，两曲线在[0, ),(2,3),(4,5),……,(24,25)共13个区间内，每个区间有两个交点，根据对称性可知总交点个数应是262-1=51.例5、讨论关于x的方程的解的情况(xR)解：设，在同一坐标系中分别作、的图像，由图知抛物线过点A（-3,0），直线与抛物线相切时，得，所以根的分布是：当或b<3时，原方程有一个根；当3≤b<时，方程有两个根.4、求参数的范围例6、（1989年高考题）设f(x)是(-,+)上的以2为周期的函数，对kZ，用表示区间（2k-1,2k+1],已知当x时, f(x)=.（1）求f(x)在上的解析式。

2）对自然数k，求集合={|a|使方程f(x)=ax在上有两个不相等的实数根}解：（1）易求得f(x)=,x.(2)考虑y=与y=ax在上的图像有两个不同公共点，a是直线斜率, y=( x)的图像是抛物线的一部分，而原点与抛物线线上的点(2k+1,1)连线的斜率是,由图像可知:00)或>-1(m<0)，故m的取值范围是m>1或m<-1.例8、方程，且1<|x|<10,若该方程有两个不同的解，求a的取值范围解：原方程等价于，令t=lg|x|，因且1<|x|<10，故0

综上所述，a的取值范围是a=或5、求最值例9、已知x0,y0，且x+2y=1，求+的最大值与最小值解：设+=，此式表示中心在原点的一个圆系，而x+2y=1表示的是一条直线，问题转化为求圆系中在约束条件下半径的最大值与最小值，而直线x+2y=1与两坐标轴的交点是A（0，），B（1,0）由图可知:,,即在已知条件下，+的最大值是1，最小值是.例10、求函数的最小值解、=+如图，在直角坐标系中，已知A、B两点的坐标为A（0,3）B（5，-2），问题转化为在x轴上求一点，使|PA|+|PB|最小，从图上看出|PA|+|PB|的最小值就是|AB|=，这就是所求问题的解6、证明命题例11、（1994年高考题）已知函数f(x)=tgx，x(0,),若、(0,)且，证明: >证明：不妨设<，设单位圆与x轴交于A(1,0), =,=,、交过点A的园的切线于点、，则tg=，tg=.设平分线交于点T，易知AOT=，故tg=AT.，故f()=，f()=,f()=AT.只需证+>2AT，即+++>2(+)，即证>即可，易证>,由OT是的平分线知: /=/>1，获证例12、已知x,y,z,k均为正值，且，，求证：xy=kz证明：有提供的信息，可构造一个直角三角形。

作ABC（如图），使BC=x,AC=y,则AB=z,又作CDAB于D，由射影定理得，即,而，故CD=k, ,xy=kz7、求值例13、求++的值解：式子变形为：++，构造三角形，因为、、是一个三角形的三内角，设其外接圆半径是1，则原式 =+-2==8、证明不等式例14:、设a,b,c,，求证:++ (a+b+c)证明：观察可知，每一根号下多项式具有余弦定理的结构形式,=，故作，使AC=b,BC=a, ACB=，则AB=，作ACB的平分线CD，令ADC=，则=，故AB=AD+BD=，因0

分析：根据三角形三边的关系证明比较困难，为此，根据边长的结构，使其三边长为题设所给，因=，=故可由勾股定理的逆定理来构造三角形证明、如图，以(a+b),(c+d)为边作矩形ABCD，AB=a+b,AD=c+d,在AB上取点E，使AE=b,则EB=a，在AF上取点F，使AF=c，则FD=d，连结CE,CF,EF，则易知EF=，CE=,CF=,于是为满足条件的三角形a+b)(c+d)- (a+b)d-bc -a(c+d) =(ac+bc+bd).11实际问题例18、两游泳队员在长90米得游泳池的两边，一人以每秒3米，另一人以每秒2米的速度来回游12分钟，若不计转向时间，问他们相互闪过多少次？解：把两游泳队员在3分钟内游泳情况绘制成图，3分钟后两人重新回到原来位置，由图可知，3分钟内互相闪过5次（包括第90秒得一次），故12分钟共闪过5=20次 > <。