山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习 旋转变换题三例 新人教版.doc

山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习 旋转变换题三例 新人教版一、在旋转中酝酿与发现例1：（2009河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．思路点拨：直线l绕AC的中点O旋转，始终保持着△AOD和△EOC全等， 探究四边形EDBC是等腰梯形的条件，执果索因，应让∠B =∠EDB=60°或ED=BC=2，所以当直线l的旋转角α为30°时，便有∠EDB=60°；此时AD=1；探究四边形EDBC是直角梯形，则只需让∠EDB=90°即可，所以当直线l的旋转角α为60°时便成立；当直线l的旋转角α=90°时,便可得DE∥CB，便不难发现和证明四边形EDBC为菱形解析：（1）①30，1；②60，1.5； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO== . 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形 点评：解决直线绕某一点旋转的动态问题的关键是树立联系，发展的动态观点，整体地把握命题的条件，抓住在运动变化过程中暂时静止的某一瞬间 ，动中求静，寻找和确定某些特殊图形或位置，进行观察联想，猜测，分析，归纳，总结，寻找出变量关系式，从而使问题得到突破和解决。

二、在旋转中计算与证明例2：CABNM图2－1例2　(浙江省嘉兴市)如图2－1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．(1)求x的取值范围；(2)若△ABC为直角三角形，求x的值；(3)探究：△ABC的最大面积？思路：将线段MA与NB通过旋转组合成三角形，便可利用三角形的三边关系“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”求得x的取值范围；若旋转组合而成的△ABC为直角三角形，则要根据AC、AB、BC分别为斜边进行分类讨论，利用勾股定理求得x的值；要探究△ABC的最大面积，也要注意分类讨论，因为△ABC底边AB上的高可能在△ABC的内部，也可能在△ABC的外部．解：(1)在△ABC中，由，，，得解得．(2)AC为斜边，则，即，此时方程无解；AB为斜边，则，解得，满足；BC为斜边，则，解得，满足．综上，或．(3)在△ABC中，作于D．设，△ABC的面积为S，则．CABNM图2－2D如图2－2，点D段AB上，则．∴ ，即．∴ ，即．∴ ()．CBADMN图2－3当时(满足)，取最大值，从而S取最大值． 如图2－2，点D段MA上，则．同理，得()．此时，．综上，△ABC的最大面积为．点评：对于图形的旋转变换，以及在变化过程中的不变量或不变关系要引起高度重视．解这类问题的关键在于认真理解题意，熟悉特殊图形的性质，掌握数学建模的方法，注意运用分类讨论思想进行探究．此外，还要考虑结论是否与实际情况相符．三、在旋转中体验例3：（2009德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG例3图②FBADCEG例3图① DFBACE例3题图③思路点拨：在（1）中，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，证出EG=CG；在（2）中，△BEF绕B点逆时针旋转45º后，充分利用G为DF中点，通过添加辅助线，分别构造△DMG≌△FNG．△DAG≌△DCG．△AMG≌△ENG．从而得证；FBADCEGMNN图 ②（一）解析：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点，∴ CG=FD． 同理，在Rt△DEF中， EG=FD．∴ CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG． FBADCE图③G在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．点评：本题涉及的知识多，构思独特，能力较高，在解题时要充分挖掘相关图形的信息，关注图形的性质，定理，让题目中的某些隐含信息发挥作用，并适当添加辅助线，化一般为特殊，化未知为已知。

对于（3）中的结论探索，一般从条件出发，用从特殊到一般的思想，归纳猜想出结论。