云南省2020届高三数学下学期第五次调研考试试题 理（含解析）.doc

云南省玉溪市第一中学2020届高三数学下学期第五次调研考试试题 理（含解析）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为集合，所以，故选A.2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以的虚部是1，选A.3.函数的大致图象如图,则函数=的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可得，所以结合图象可知,选D.4.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合数量积公式可求得、、的值，代入向量夹角公式即可求解详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，且，，所以， ，所以，又因为所以，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. 9 B. 12 C. 16 D. 10【答案】C【解析】【分析】将不等式变形为，结合均值不等式即可求解。

详解】因为，，所以，所以不等式恒成立，即可转化为恒成立，即，因为，当且仅当时取等号，所以，即m的最大值为16，故选C点睛】本题考查均值不等式的活用、恒成立问题，解题关键在于将不等式变形为，即可求解，意在考查学生分析计算的能力，属基础题6. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%【答案】B【解析】试题分析：从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关.中间的两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%.选B.考点：相关关系.7.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】设公比为， ，与的等差中项为，，即的值为，故选A.8.已知，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，平方可得，结合的范围即可求的值，代入即可求解。

详解】因为，所以，，平方得，所以，所以为钝角所以 所以，故选B点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，意在考查学生化简计算，推理判断的能力，属基础题9.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设矩形的中心为O，根据题意得为等腰直角三角形，所以所在的圆的圆心为AC的中点，即可推出外接球的球心在AC的中垂线的中心，即点O，可求O到任意一个顶点的距离，即为半径R，代入公式即可求解详解】如图所示，设矩形的中心为O，由题意知，直三棱柱，，则为等腰直角三角形，所以AC=所以所在的圆的圆心为AC的中点，所以外接球的球心在AC的中垂线的中心，即点O为三棱柱的外心，所以外接球半径,所以外接球表面积，故选A点睛】本题考查直三棱柱的外接球问题，难点在于找到球心O，并求出半径R，考查空间想象能力，推理化简，计算求值的能力，属中档题10.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出3名教师去4个国家的总的可能性，再求2名教师选择同一国家的可能性，代入公式，即可求解。

详解】3名教师每人有4种选择，共有种可能恰有2人选择同一国家共有种可能，则所求概率，故选C【点睛】本题考查计数原理及组合问题，考查学生分析推理，计算化简的能力，属基础题11.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 所以 因此，选C.12.设为函数的导函数，且满足 ，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，根据，可得，将不等式变形可得，即求的最大值，求导，结合的单调性，即可求解详解】，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得 ，即，设， ，易得函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值、恒成立问题，涉及到函数的对称性等知识，意在考查学生对这些知识的理解水平和分析计算能力，属中档题第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中的系数是________．【答案】192【解析】【分析】写出二项式展开的通项公式，令，可解得，代入原式即可求解。

详解】由题意知，令，解得=1，所以含项的系数为，故答案为192.【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，考试计算化简的能力，属基础题14.在平面四边形中， ,则_________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，即，结合余弦定理即可求解详解】由已知作图如下因为在中，，，，所以,所以,因为，所以，所以，在中， ，又所以，故答案为点睛】本题考查勾股定理，利用余弦定理解三角形，考查学生分析计算，化简求值的能力，属基础题15.在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16.已知函数，若的四个根为，且,则________．【答案】2【解析】【分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解。

详解】因为，所以，所以或，所以或解得，，，，所以 ，所以，故答案为2.【点睛】本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.若数列的前项和为，首项且．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，数列的前项和为，若恒成立，,求的最小值．【答案】（1）或（2）3.【解析】【分析】（1）当，可求得，当时，利用，即可求出2）由，，代入，运用裂项相消求和法即可求出，即可求出m的最小值详解】（1）当时，，则当时，，即或，或 ，（）又 满足上式，所以或，（2）由，，，又【点睛】本题考查数列通项与前n项和的关系、裂项相消求和法及恒成立问题，考查学生计算化简，推理求值的能力，属基础题18.某市在2020年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为，求的分布列和期望．附：若，则，.【答案】（1）112；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数公式直接计算即可。

2） 由原则可知，全市前13名的成绩全部在135分以上，结合频率分布直方图可得[125，145]的学生有10人，在135分以上(包括135分)的有4人，写出X可能取值，即可列出分布列，求出期望详解】(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.01010＋0.02410＋0.03010＋0.01610＋0.00810)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1＋1000.24＋1100.3＋1200.16＋1300.12＋1400.08＝112.(2)由于，根据正态分布得P(120－35

19.如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，, 是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m＝m＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n＝n＝0，即，取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为20.已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【答案】（1）；（2）；（3），1.【解析】【分析】（1）根据准线方程即可求出p的值，即可求抛物线的方程。