应力状态分析.docx

第二章 应力状态分析内容介绍知识点体力应力矢量应力分量平衡微分方程面力边界条件 主平面与主应力 主应力性质截面正应力与切应力 三向应力圆 八面体单元偏应力张量不变量 面力正应力与切应力应力矢量与应力分量 切应力互等定理 应力分量转轴公式平面问题的转轴公式应力状态特征方程应力不变量最大切应力球应力张量和偏应力张量作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力例如物体的重力，惯性力，电磁力等等面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等 为了表明物体在 xyz 坐标系内任意一点 P 所受体力的大小和方向，在 P 点的邻域取一微小体积元素 △ V, 如图所示设 △ V 的体力合力为△ F，则 P 点的体力定义为 令微小体积元素 △ V 趋近于 0，则可以定义一点 P 的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的物体内任一点的体力用 Fb 表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定体力沿三个坐标轴的分量用 Fbi( i = 1,2,3)或者 Fbx,Fby,Fbz 表示，称为体力分量。

体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力 类似于体力，可以给出面力的定义 对于物体表面上的任一点 P，在 P 点的邻域取一包含 P 点的微小面积元素 △S，如图所示 设 △ S 上作用的面力合力为 △ F，则 P 点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件 面力矢量用 Fs 表示，其分量用 Fsi（i=1 ，2，3）或者 Fsx、 Fsy 和 Fsz 表示面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力 F 内力的分布一般是不均匀的为了描述任意一点 M 的内力，在截面上选取一个包含 M 的 微面积单元 ΔS，如图所示则可认为微面积上的内力主矢 ΔF的分布是均匀的。

设 ΔS 的法线方向为 n，则定义： 上式中 pn 为微面积 ΔS 上的平均应力如果令 ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得 上述分析可见：p n 是通过任意点 M，法线方向为 n 的微分面上的应力矢量应力 pn 是矢量，方向由内力主矢 ΔF 确定，又受 ΔS 方位变化的影响应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向 n 的方向改变而变化这种性质称为应力状态因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态应力状态对于研究物体的强度是十分重要的显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系不可能也不必要写出一点所有截面的应力为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解 应力矢量的一种分解方法是将应力矢量 pn 在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用 px, py, pz 表示其分量，则 pn=px i + py j+ pz k 这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。

它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程 另一种分解方法，如图所示 ，是将应力矢量 pn 沿微分面 ΔS 的法线和切线方向分解与微分面 Δ S 法线 n 方向的投影称为正应力，用 n 表示；平行于微分面 Δ S 的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用 n 表示 弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式由于微分面法线 n 的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力n 的方向但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力 n 不仅需要确定截面方位，还必须指明方向为了表达弹性体内部任意一点 M 的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过 M 点截取一个平行六面体单元，如图所示 将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向 3 个坐标轴投影，可以得到应力分量 ij应力分量的第一脚标 i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；第二脚标 j 表示应力的方向如果应力分量与 j 坐标轴方向一致为正，反之为负如果两个脚标相同， i＝ j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如 x。

如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如 xy六面体单元的 3 对截面共有九个应力分量 ij 应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量 在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量表示使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设 h 为 O 点至斜面ABC 的高，由 x 方向的平衡，可得将公式 代入上式，则 对于微分四面体单元，h 与单元体棱边相关，因此与 1 相比为小量，趋近于零，因此同理 如果采用张量记号，则上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的 9 个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力因此应力分量可以确定一点的应力状态物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点 M 的平衡在物体内，通过任意点 M，用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单元，单元的棱边分别与 x， y， z 轴平行，棱边分别长 dx，dy，dz。

如图所示，讨论微分平行六面体单元的平衡在 x 面上有应力分量 x， xy 和 xz ；在 x+dx 面上，应力分量相对 x 截面有一个增量，取一阶增量，则对 y， z 方向的应力分量作同样处理 根据微分单元体 x 方向平衡， ∑F x=0，则 简化并且略去高阶小量，可得同理考虑 y， z 方向，有上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系，称为平衡微分方程，又叫纳维（Navier）方程 用张量形式表示，可以写作 如果考虑微分单元体的力矩平衡， 则可以得到xy =yx，  yz=zy， zx=xz由此可见，切应力是成对出现的，9 个应力分量中仅有 6 个是独立的上述关系式又称作切应力互等定理用张量形式表示，则ij = ji物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示 由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积上的面力分量为 Fsx、 Fsy 和 Fsz ，物体外表面法线 n 的方向余弦为 l， m， n。

参考应力矢量与应力分量的关系，可得 用张量符号可以表示为上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件 平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡 显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑 y ， z 方向，则可以得到转轴公式 注意到, x'y' =y'x' , y'z' =z'y' , x'z' =z'x' 用张量形式描述，则上述公式可以写作 应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。

应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，对于这个确定点，是否可以找到这样一个坐标系，在这个坐标系下，该点只有正应力分量，而切应力分量为零也就是说：对于物体内某点，是否能找到三个相互垂直的微分面，面上只有正应力而没有切应力答案是肯定的，对于任何应力状态，至少有三个相互垂直平面的切应力为零切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面 主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向 主平面上的正应力称为主应力根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程 证明应力不变量的正交性 假设主应力 1， 2 和 3的方向余弦分别为（l 1，m 1，n 1），（l 2，m 2，n 2）和（l 3，m 3，n 3），由于满足齐次方程组，有 将上述公式的前三式分别乘以 l2， m2 和 n2 ，中间三式分别乘以-l 1， -m1， -n1，然后将六式相加，可得同理 根据上述关系式，如果 1≠ 2≠ 3，有l1l2+m1m2+n1n2＝ 0， l2l3+m2m3+n2n3 ＝0， l 1l3+m1m3+n1n3 ＝0上式说明如果三个主应力均不相等，则三个应力主方向是相互垂直的。

如果 1＝ 2≠ 3，有l2l3+m2m3+n2n3 ＝0， l 1l3+m1m3+n1n3 ＝0 而 l1l2+m1m2+n1n2 可以等于零，也可以不等于零 这说明 3 的方向同时与 1和 2 的方向垂直，而的 1和 2的方向可以垂直，也可以不垂直因此所有与 3 垂直的方向都是 1和 2 的应力主方向 如果 1＝ 2＝ 3，则 l1l2+m1m2+n1n2， l2l3+m2m3+n2n3 和 l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零也就是说任何方向都是应力主方向 由此证明应力不变量的正交性 设过点 O 与坐标轴倾斜的微分面 ABC 为主微分面， 如图所示，其法线方向 n，既应力主轴的三个方向余弦分别为 l，m，n，微分面上的应力矢量 p n，即主应力的三个分量为 px, py, pz根据主平面的定义，应力矢量 p n 的方向应与法线方向 n 一致，设 为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为 px =l, py =m, pz =n展开上述行列式,可得 以上方程称为应力状态特征方程，是确定弹性体中任意一点主应力的方程。

其中， ，为应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和 ， 是 行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和 是行列式 的值 由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关因此特征方程的根是确定的，即 。