(完整)七-八年级三角形的奥数题及其答案(2).doc

《三角形综合》例题 1: AD EF, BC相交于 0 点，且 AO= OD BO= OC EO= OF.求证：△ DFC例题2: P为正方形 ABCD对角线BD上任一点，PF丄DC PE± BC.求证：APIEF.例题3:A ABC的高AD与BE相交于H,且BHk AC.求证：/ BChkZ ABC例题4:在正方形 ABCD中, P, Q分别为BC, CD边上的点，/ PAQ= 45求证：PQ= PB+ DC例题5:过厶ABC的顶点A分别作两底角/ B和/ C的角平分线的垂线，AD丄BD于 D, AE± CE于E.求证：ED// BC例题6:如图，P是等边三角形 ABC内部的一点，PA= 2, PB= 2.3 , PC= 4,求厶ABC的边长•例题7:如图（I），凸四边形 ABCD，如果点P满足/ APD = Z APB =a且/ B P C = / CPD =B,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.（I ）在图（3 ）正方形ABCD内画一个半等角点 P,且满足a^3°（2 ）在图（4 ）四边形ABCD中画出一个半等角点 P,保留画图痕迹（不需写出画法） •（3 ）若四边形ABCD有两个半等角点 Pi、P2 （如图（2 ）），证明线段 Pi P2上任一点也是它的半等角点图⑵例题&已知：点 0到厶ABC的两边AB AC所在直线的距离相等，且 0B= OC(1) 如图1,若点0在BC上，求证：AB= AC;(2) 如图2,若点0在厶ABC的内部，求证： AB= AC;(3) 若点0在厶ABC的外部，AB= AC成立吗？请画图表示。

练习试题:1如图，在△ ABC中， ABC和 ACB的平分线相交于点 0，过点0作EF // BC交AB 于E，交AC于F，过点0作OD AC于D •下列四个结论：① BOC 90 A ；2② 以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③ 设 OD m, AE AF n,则 Sa aef mn ;④ EF不能成为△ ABC的中位线.其中正确的结论是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上)2. 如图1, AB CD是两条线段， M是AB的中点，S DMC、S DAC和S dbc分别表示厶DNC△ DAC △ DBC的面积当 AB // CD时，有 S DMC = ^DAC―(1)2(1) 如图2,若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由2) 如图3,若图1中AB与CD相交于点O时，S DMC、S DAC和S dbc有何种相等关系? 试证明你的结论图13. 如图，设△ ABC^n^ CDE都是正三角形，且/ EBD= 62°,则/ AEB的度数是【 】(A) 124° (B) 122° (C) 120° ( D) 118°4. 如图，△ ABC是等边三角形，△ BDC是顶角/ BDC= 120°的等腰三角形， M是AB延长线 上一点，N是CA延长线上一点，且/ MDN= 60° .试探究MB MN CN之间的数量关系，并给 出证明•5. 如图，在△ ABC中，/ ABC= 600，点 P 是厶 ABC内的一点，使得/ APB=Z BPC=Z CPA且 PA= 8, PC= 6，贝H PB= 6. 如图所示，在△ ABC中，AB= AC, AD= AE, BAD 60，贝U EDC 7. (1)如图7,点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边段 AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形 OCD连结AC和BD,相交于点E，连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8,A OAB固定不动，保持△ OCD勺形状和大小不变，将△ OCD绕着点O旋转(△OAB^DA OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.&两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形,B, C, E在同一条直线上，连结 DC .（1 ）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）(2)证明：DC BE •團1 图29.如图，AD是厶ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ ABC是等腰三角形的是 。

把所有正确答案的序号都填写在横线上）①/ BAD =Z ACD ②/ BAD =Z CAD，③ AB+ BD= AC+ CD ④ AB- BD= AC- CD参考答案例题1、证明：△ OAE ◎△ ODF ,因为：二边及夹角(对等角)相等，得：AE=DF 同理证得：△ OBE OCF ,△ OAB OCD，得：EB=CF , AB=CD因为： AE=DF ， EB=CF ， AB=CD 三边相等所以：△ AEBDFC例2 F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N••• P为正方形ABCD对角线BD上任一点••• PM=PF,PN=PE又 AMPN 为矩形 .an=pm=pfvZ EPF= / BAC=90•••△ PEF ANP.Z NAP = Z PFE又Z NPA= Z FPG(对顶角)Z NAP + Z NPA=90°.Z PFE+ Z FPG=9°0.Z PGF=18°0 -(ZPFE+ZFPG)=90°.AP 丄 EF例 3 v BH = AC ,Z BDH =Z ADC = 90° Z HBD = Z CAD (这个知道的吧)•••△ BD串△ ADC.HD= CD , BD=AD•••△ HDC与厶ABD是等腰直角三角形.Z BCH = Z ABD=45例4:在CB的延长线上取点G,使BG = DQ，连接AGv正方形ABCD.AB = AD , Z BAD = Z ABG = Z D = 90v BG = DQ•••△ ABG ADQ (SAS).AQ = AG , Z BAG = Z DAQvZ PAQ = 45.Z BAP+ Z DAQ = Z BAD- Z PAQ = 45.Z PAG = Z BAP+ Z BAG = Z BAP+ Z DAQ = 45.Z PAG = Z PAQv AP = AP.△ APQ APG (SAS).PQ = PGv PG = PB+BG = PB+DQ.PB+DQ = PQ例5、证明涎扶于点延长“尸交打「于点JV■/ AE1CE.二 Z/1EV1 = =如：Y乙ACE = NJWCE CE是公盖世’ /. SAEC = SMEC ( AS A)f 同理可证,^ABF二AzV二 AE = EMAF = FN,/. Ah： : EAJ = AF : FN = 1:1,二 i£F 2°例6将ACPB绕点C顺时针旋转60。

得到ACDA,并连接DP aACDP是等边三角形/. PD-CD=CP=4 ?AI>=B P=273V AP=2A A AT)P是直角三角形口. ZADP-3 0T ZCDP=60二 ZCDA=90°二 AC2=A23CD2=(2-/I)，+42=28・■ AC=2^/T例7（1） 根据题意可知，所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点．因为在图形 内部，所以不能是 AC的端点，又由于 a^,3所以不是AC的中点.（2） 画点B关于AC的对称点B'，延长DB交AC于点P,点P为所求.（因为对 称的两个图形完全重合）（3） 先连 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B,根据题意/ AP1D= / AP1B , / DP1C= / BP1C •••/ AP1B+ / BP1C=180 度.••• P1 在 AC 上，同理，P2 也在 AC 上，再利用 ASA证明△ DP1P2◎△ BP1P2而，那么△ P1DP2和厶P1BP2关于P1P2对称，P是 对称轴上的点，所以/ DPA= / BPA，/ DPC= / BPC .即点P是四边形的半等角点. 解 答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）.（2） 画点B关于AC的对称点B'，延长DB交AC于点P,点P为所求（不写文字 说明不扣分）给（ 3分）.（说明：画出的点 P大约是四边形 ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给 1分）（3） 连 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意，/ AP1D= / AP1B，/ DP1C= / BP1C,•••/ AP1B+ / BP1C=180 度.• P1 在 AC 上，同理，P2也在AC 上. （ 9分）在厶DP1P2和厶BP1P2中，/ DP2P1= / BP2P1,/ DP1P2= / BP1P2, P1P2 公共，• △ DP1P2BA BP1P2. （11 分）所以 DP1=BP1 , DP2=BP1 , DP2=BP2，于是 B、D 关于 AC 对称.设P是P1P2上任一点，连接PD、PB,由对称性，得/ DPA= / BPA, / DPC= / BPC, 所以点P是四边形的半等角点.例8证明：（1）过点0分别作0E丄AB , OF丄AC , E、F分别是垂足，由题意知， OE=OF ， OB=OC ，•••Rt △OEB 细t △OFC••zB= /C,从AB=AC。

2 ）过点0分别作OE丄AB , OF丄AC, EF分别是垂足，由题意知， 0E=0F 在 Rt △OEB 和 Rt △OFC 中，••OE=0F , OB=OC ,•••Rt △OEB 细t △OFE• A)BE= ZOCF , B=OC 知/OBC= ZOCB ,「.ZABC= ZACD , •AB=AC3)解：不一定成立AB MAC ,注：当/ A的平分线所在直线与边 BC的垂直平分线重合时，有 AB=AC ;否则,练习13 解：•••等边△ ABC、等边△ CDE••• AC=BC , CE=CD，/ BAC = / ABC = / ACB= / ECD=60 vZ ACE= / ACB- / BCE，/ BCD= / ECD- / BCE•••/ BCD= Z ACE•••△ ACE ◎△ BCD ( SAS)•••Z CBD= Z CAEvZ EBD = 62• Z CBD = Z EBD- Z CBD = 62- Z CBE• Z CAE = 62- Z CBE• Z BAE = Z BAC- Z CAE = 60-62+ Z CBE = -2+ Z CBE• Z ABE+ Z BAE = 60- Z CBE-2+ Z CBE = 58• Z AEB = 180- (Z ABE+ Z BAE)= 1224CN + BM = MN证明：延长AC至M1 , 使 CM1 = BM，连结DM1由已知条件知：Z ABC = Z ACB = 60°Z DBC = Z DCB。