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2021年二元一次方程及二元一次方程组.docx

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    • 学习必备欢迎下载二元一次方程及二元一次方程组1.二元一次方程一般形式: axby c0 其中 a≠ 0,且 b≠ 0.例 1. 在以下方程中,哪些是二元一次方程,哪些不是,并说明为什么?① a 2b 1, ② 5y 8y 6 0 , ③ 5〔x 2y〕 2〔2x 5y〕 8 , 5④ 4pq 1, ⑤ 5y 8 0 , ⑥2〔xy 〕 3〔x y 〕x答:①,⑥是 .2 18例 2. 方程 是二元一次方程,就 的取值为( C )A. a≠0 B. a≠- 1 C. a≠1 D. a≠22. 二元一次方程组a1x b1y c1一般形式:a2x b2 y c2(其中 a1, a2, b1, b2 不同时为零) .例 3. 在方程组 、 、 、 、 、 中,是二元一次方程组的有( B )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个例 4.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的 “方程 ”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图便利,我们把它改为横排,如图 1、图 2,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x,y 的系数与相应的常数项.把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟识的方程组形式表述出来,就是3x 2 yx 4y19,23.类似地,图 2 所示的算筹图我们可以表述为( A ).2x y11,2x y11,A . 4x 3 y27.B. 3y22.3x 2 y19,2x y 6,C.x 4y23.D.4x 3 y27.图 1 图 23. 二元一次方程的解x a特点: 〔1〕二元一次方程的解是一对数值,即 ;y b例 5.〔2〕一个二元一次方程有很多多解,但非任意一对数值都适合 .x 2是二元一次方程 ax- 2= - by 的一个解,就 2a- b- 6 的值等于 . ( - 4)y 1例 6. 如二元一次方程 有正整数解,就 的取值应为( A )A. 正奇数 B. 正偶数 C. 正奇数或正偶数 D. 0例 7. 某球迷协会组织 72 名球迷拟租乘汽车赴竞赛场地, 为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威 . 可租用的汽车有两种:一种每辆可乘 8 人,另一种每辆可乘 4 人,要求租用的车子不留空座,也不超载 .①请你给出不同的租车方案(至少三种) ;②如 8 个座位的车子的租金是 300 元/天, 4 个座位的车子的租金是 200 元/ 天,请你设计出费用最少的租车方案,并说明理由 .解:①设租用乘 8 人的车为 x 辆,租用乘 4 人的车为 y 辆.8x+4y=72 ∴ y=18 - 2x方案一:乘 8 人的车 1 辆,乘 4 人的车 16 辆;方案二:乘 8 人的车 2 辆,乘 4 人的车 14 辆;方案三:乘 8 人的车 3 辆,乘 4 人的车 12 辆. ⋯⋯②租车费用为: 300x+200y=300x+200〔18 - 2x〕=300x+3600 - 400x=3600 - 100x当 x=9 时,租车费用最少 =3600 - 900=2700(元)x2y1x2y34. 二元一次方程组的解2x+ m-1 y 22004例 8. 已知是关于 x, y 的二元一次方程组nx+y 1的解,试求( m+n )的值 . (原式 =1)例 9. 已知 是一个二元一次方程组的解,试写出一个符合条件的二元一次方程组 .5. 三元一次方程组〔二〕 消元1. 解一次方程组的基本思路——消元,实施方法——代入法,加减法 .解二元一次方程组: “二元”→“一元” ,以求解 .解三元一次方程组: “三元”→“二元”→“一元” ,以求解 .2. 明确解方程组的过程中各种变形的理论依据.3. 对比代入法和加减法,引导同学依据方程的详细形式敏捷的选用适当的、比较简洁的解法.4. 规范解方程组的书写格式,规律要清晰 .5. 敏捷运用消元思想解决数学问题 .例 10. 解以下方程组x y 3〔1〕3x 2y 5(选代入法) 〔2〕3x 6y 33x 2y 1(选加减法)2x3y53x4y1〔3〕(选加减法) 〔4〕1 30% yx 125 (先化简成一般形式)y 1 4x 9 14 20〔5〕73x 18x7 y 98y66(留意解题技巧) 〔6〕254x 8 x y4y 9 x y840840(留意解题技巧)〔7〕2x 3y 2〔x 2y〕 1 4 53〔2x 3y〕 x 2y 4 04 5x y z 11(换元) 〔8〕3x 4y z 14 x 5y 2z 17 2x 2y z 3〔9〕y z x 5 z x y 1(留意解题技巧)例 11. 构造方程组,求代数式的值或未知数的值 .〔1〕已知 6x- 5y=16 ,且 2x+3y=6 ,就 4x - 8y 的值为 .(原式 =10)〔2〕如 〔2x 3y 5〕2x y 2 0 ,就 x= , y= . 〔 x1 , y 9 〕5 5〔3〕如x 1是关于 x、y 的方程 ax by 1的一个解,且 a+b= - 3,就 5a 2b = .y 2(原式 = - 43)〔4〕如二元一次方程 3x- y=7 , 2x+3y=1 ,y=kx - 9 有公共解,就 k 的取值为( D)A. 3 B. - 3 C. - 4 D. 4〔5〕 已知方程组 2x 3y 9 与 3x y 8同解,求 a、b 的值 . ( a2, b= - 1)ax by 12ax 3by 7 3〔6〕 解方程组 时,一同学把 看错而得 ,而正确的解是 那么 、b、c 的值是( B )A. 不能确定B.= 4,= 5,=- 2C. a、b 不能确定,=- 2D.= 4,= 7,= 2〔7〕已知对于任意有理数 a、b,关于 x、y 的方程 〔a b〕x 〔a b〕y 5a b 有一组公共解 .x 2试求出这组公共解 . (y 3 )〔8〕如代数式ax2bx c 无论x取什么值,它的值都为 10,就 2a+ b+ c= .(原式 = - 10)〔9〕已知关于 、 的二元一次方程组 的解满意二元一次方程 , 求 的值 .解:由题意得三元一次方程组①化简得 ②③①+②-③得:④② 2-① 3 得:⑤由④⑤得:∴例 12. 敏捷运用消元思想解决数学问题 .(1) 已知 x= - 3+t, y=3 - t,那么用 x 的代数式表示 y 为 . ( y= - x)(2) 已知 是方程组 的解,就 a、b 间的关系是( D )A. B. C. D.〔3〕已知 3a + b + 2 c = 3 且 a + 3b + 2 c = 1,求 2a + c 的值 . (原式 =2 )〔4〕已知a 2 ab1 , 4ab 3b2 ,求 a9ab 6b5 的值. (原式 =0)222〔三〕 一次方程组的应用列方程组解应用题,关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系 . 一般来说,有几个未知量就必需列出几个方程,所列方程必需满意:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相等 .例 13. 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼, 每层楼有 8 间教室, 进出这栋大楼共有 4 道门, 其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同 . 安全检查中,对 4 道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时, 2 分钟内可以通过 560 名同学;当时开启一道正门和一道侧门时, 4 分钟内可以通过 800 名同学 .(1) 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名同学?(2) 检查中发觉,紧急情形时因同学拥挤,出门的效率将降低 20%,安全检查规定,在紧急情形下全大楼的同学应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 . 假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名同学,问:建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由 .解: 〔1〕 设平均每分钟一道正门可以通过 x 名同学,一道侧门可以通过 y 名同学 .由题意,2〔x+2y〕=5604〔x+y〕=800x 120解得y 80答:平均每分钟一道正门可以通过同学 120 名,一道侧门可以通过同学 80 名.〔2〕 这栋楼最多有同学 4 8 45=1440(名)拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 52 〔120+80〕 〔1 - 20%〕=1600 (名)∵1600>1440 , ∴建设的 4 道门符合安全规定 .例 14. 某商场方案拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台 1500 元,乙种每台 2100 元,丙种每台 2500 元.(1) 如商场同时购进其中两种不同型号电视机共 50 台,用去 9 万元,请你讨论一下商场的进货方案;(2) 如商场销售一台甲种电视机可获利 150 元,销售一台乙种电视机可获利 200 元,销售一台丙种电视机可获利 250 元. 在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售时获利最多,你挑选哪种进货方案?(3) 如商场预备用 9 万元同时购进三种不同型号的电视机 50 台,请你设计进货方案 .解: 〔1〕 分情形运算①设购进甲型号 x 台,乙型号 y 台.x+y=50 1500x+2100y=90000x 25得y 25②设购进甲型号 x 台,丙型号 z 台.x+z=50 1500x+2500z=90000x 35得z 15③设购进乙型号 y 台,丙型号 z 台.y+z=50 2100y+2500z=90000y=87.5得z=37.5∴商场进货方案有两种:购进甲型号 25 台,乙型号 25 台;或购进甲型号 35 台,丙型号 15 台.(2) 当购进甲型号 25 台,乙型号 25 台时,可获利3750+5000=8750 (元)当购进甲型号 35 台,丙型号 15 台时,可获利5250+3750=9000 (元)∴选购甲型号 35 台、丙型号 15 台时获利最多 .(3) 设购进甲、乙、丙型号电视机分别为 x 台, y 台, z 台.x y z 50有1500x 2100y。

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