第9章 变分反问题.doc

125第第 9 章章 变分反问题变分反问题前面我们讨论的都是把泛函的极(驻)值问题转化为微分方程的定解问题来处理,也就是变分的正问题下面我们讨论变分的反问题, 也就是说,如何将某些微分方程的定解问题化为泛函的极(驻)值问题来处理此外还讨论某些算子的特征值问题如何化为变分问题来处理9.1 算子方程的变分原理算子方程的变分原理定理定理 9.1 假设是对称正定算子, 其定义域为, 值域为, , 如果算TD)(DT)(DTf 子方程 fTu 存在解,那么所满足的充要条件是泛函0uu 0uufuTuuJ,2,][取极小值证明证明: (1) 充分条件设使得取到极小值，也就是对任意的满足0uu ][uJ0uu][][0uJuJ其中为满足齐次边界条件的任意函数，为任意小量那么000000[ ](),2,[]2,),[]J uT uuf uJ uTufJ u     也就是说2 02,),0Tuf  对于任意的要求上式成立，只有00 fTu(2) 必要条件如果，那么00 fTu00000000[ ](), ()2,[],),),[],[]J uT uT uf uJ uTufTufJ uJ u           所以使得取到极小值。

0uu ][uJ例例 9.1 建立与 Poisson 方程第一边值问题等价的变分原理222222( , , ),( , , )|0Vuuuf x y zx y zVxyzu   解解∶∶126首先证明算子是对称正定算子∶,|0VTu u ,() d[()]dd()d() d()d,VVVVVVTu vu v Vu vuvVuv Vu vSuvv u VvuSnnu Tv nAAAA,() dddd0,0VVVVTu uu u Vuuu Vu Snuu Vu AA再根据上面的定理，其对应变分原理的泛函为2[ ],2,[()2]VJ uTu uf uufu dV  9.2 与与 Sturm-Liouville 方程等价的变分原理方程等价的变分原理定理定理 9.2 Sturm-Liouville 方程为(9.2.1)01( ),(,)Tyf xxx x这里dd[ ( )]( )ddTp xq xxx ，。

两端的边界条件为0)(xp0)(xq(9.2.2)22 0000000022 11111111'()()0,0,'( )( )0,0,y xy xy xy x  00则是对称正定算子T证明证明：：(a)10110010111000dd ( ),[ ( )]( ) ( )( )ddd( ) '( ) '( )( ) ( ) ( ) d[ ( )( ) ( )]|( ) '( ) '( )( ) ( ) ( ) d[ ( )( ) ( )()() ()]xxxx xxxxy xTy zp xq x y xz xxxxp x y x z xq x y x z xxp x y x z xp x y x z xq x y x z xxp x y x z xp xy x z x(b)10111000,( ) '( ) '( )( ) ( ) ( ) d[ ( ) ( ) ( )() () ()]xxy Tzp x y x z xq x y x z xxp x y x z xp xy x z x127此外由处边界条件可知0xx(c)00000000'()()0'()()0y xy xz xz x若,则上面两式分别乘和、并相减，可得000()z x0()y x(d)0000() ()() ()y x z xy x z x若,则，(c)中两式分别乘和、并相减，同样可得式(d)。

同理00000()z x0()y x(e)1111( ) ( )( ) ( )y x z xy x z x利用式(d) 、(e) 比较式(a)和(b)可得 ,,Ty zTz y也就是说是对称T进一步，(f) 10110022dd ( ),[ ( )]( ) ( )( )ddd( ) ' ( )( )( ) d[ ( ) '( ) ( )]|xxxx xxy xTy yp xq x y xy xxxxp x yxq x yxxp x y x y x当，由边界条件(9.2.2)00(g)220 00000000 0() '() ()()()(),0p xy xy xp xyxyx当时, 只须在上式中取就可以了所以式(g)对任意都成立000()0y x000同理221 11111111 1( ) '( ) ( )( )( )( ),0p x y x y xp xyxyx  代入式(f) 110010222222 0011,( ) ' ( )( )( ) d[ ( ) '( ) ( )]|( ) ' ( )( )( ) d()( )xx xxxxTy yp x yxq x yxxp x y x y xp x yxq x yxxyxyx也就是说是正定。

T这样，其对应变分原理的泛函为10[ ],2,[ ( ) '( )]'( ) ( )2 ( )( )dxxJ uTu uf up x y xq x y xf xy xx  例例 9.2 化下列两阶常微分方程的边值问题(Sturm-Liouville) 为变分形式1212dd( )( )( ),( , )dd '( )( )0,'( )( )0,,0up xr x uf xxa bxx u au au bu b  解解:1282222 12ddd( ( ))( )( )d( )dddd d( )( )( )ddd1d( )()( )2 ( )d2d11( )( )( )( )22b b a ababauup xr x uf xu xp xuxxxuup xr x u uf xuxxxup xr x uf xuxxp auap bu b  所以2222 121d[ ]( )()( )2 ( )d2d11( )( )( )( )22bauJ up xr x uf xuxxp auap bu b两阶常微分方程的边值问题化为下列变分问题 [ ]0J u。