2017-2018年高中数学 考点55 不等式选讲（含2013年高考试题）新人教a版.doc

1考点 55 不等式选讲一、选择题1.（2013·安徽高考理科·Ｔ4） “a≤0” “是函数 ()=-1fxa在区间 (0,+)内单调递增”的 （ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数 ()=-1fxa的简图，数形结合判断解析】选 C.由函数 在区间 (0,+)内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项 C 正确二、填空题2. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a＋ b＝1, mn＝2, 则(am＋ bn)(bm＋ an)的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】 21)()())( 22banbanbman（ ,且仅当 banm时取最小值 2.【答案】 2.3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）设 a, b∈ R, |a－ b|>2, 则关于实数 x 的不等式|||2xab的解集是 .【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识 |||x表示数轴上某点到 a，b 的距离之和即可得解.【解析】函数 |||)(bxaxf的值域为： 2||)(.|,[| afRba时 ，因 此 ， 当.所以，不等式 2|||x的解集为 R。

答案】 R. 24.（2013·江西高考理科·Ｔ15）在实数范围内，不等式 |x2|1的解集为___________.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义， |x2|1等价于 0|x2|，即2x，即 04.【答案】 [,4].5. （2013·重庆高考理科·Ｔ16）若关于实数 x的不等式 53xa无解，则实数a的取值范围是 【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式 53xa无解，即 min35x因为 8)(x,所以 a【答案】 8,.6. （2013·湖北高考理科·Ｔ13）设 x，y，z∈R，且满足：x 2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14,则 x+y+z= 【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的 x，y，z 的值解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z） 2≤（x 2+y2+z2） （1 2+22+32） ，当且仅当123xyz时取等号，此时 y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x= 4，所以 14x，4， 1z，x+y+z= 6143.7【答案】 37.7. （2013·湖南高考理科·Ｔ10）已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2的最小值为　　　　.【解题指南】本题是利用柯西不等式 23212321321 )())(( baba求最值 【解析】因为 694cc，所以312942cba【答案】 12.三、解答题8.（2013·辽宁高考文科·Ｔ24）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ24）相同已知函数 (),1.fxa其 中()当 2a时，求不等式 ()4fx的解集；已知关于 x的不等式 2()2fx的解集为 12x，求 a的值。

解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.【解析】 ()当 2a时，26,2,()44,.xfx当 x时，由 ()4261f x；当 2时，由 4x，不成立；当 4x时，由 () 5fxx；综上， 1,5x或所以，当 2a时，不等式 ()4fx的解集为 1,5.x或()记 (2hxf a则,0,()42,.xa由 ()(fxfx得 ()2h，即 14242aax由已知不等式 ()(fxfx的解集为 亦即 ()h的解集为 124所以12a解得 3.a24. 9.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同已知函数 |2|1|)(axxf, 3)(xg（Ⅰ）当 a时，求不等式 f的解集；（Ⅱ）设 ,且当 ]2,[x)时， )(xf,求 a的取值范围.【解析】当 2时，不等式 (gf化为 03|2|12| x.设函数 3||1| xxy，则1,632,5xy其图象如图所示，从图象可知，当且仅当 )2,0(x时， y.所以原不等式的解集是 }20|{x.（Ⅱ）当 ]1,[ax时， af1.不等式 )(gf化为 3x.所以 2ax对 ]2,[都成立，故 2，即 34a.5从而 a的取值范围为 ]34,1(10. （2013·湖南高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心.(1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L 路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写出点 P 到三个居民区的“L 路径”,则点 P 到三个居民区的“L 路径”长度值和的最小值为三个“L 路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理. 【解析】设点 P 的坐标为(x,y),(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值.①当 y≥1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,　(*)当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24.　(**)当且仅当 x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以 d1(x)≥24,当且仅当 x=3 时,等号成立,d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当 y=1 时,等号成立.故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45.②当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-6y|+|y|+|y-20|.此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d 1(x)≥24,故 d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立.综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.11.（2013·安徽高考理科·Ｔ20）设函数2 *2()1(,)3nnxxfxRN=-++ÎK，证明：（1）对每个 *NÎ，存在唯一的 [,1]nÎ，满足 (0nfx=；（2）对任意 p，由（1）中 x构成的数列 {}满足 1np+0 时，-1()0,(),)2nn nxf fx=+>¥K‘ 故 在内单调递增，由于 1()0fx=，当 2213³ ³时 ， ，又 2223() ()34knnknf==-+£-+å=11[()]1-. .()04nn--0 时，1+12()()()nnnnxfxff+=>，故+11()0,nnnfxff>由 +1nf¥在 （ 0， ） 内单调递增知，{},故<为单调递减数列，从而对任意 *,pNÎ， npx+<，对任意 *pNÎ，7由于22()10nnnxfx=-+=K① 1+2222().+0()()nnnpnpppnp xxf +++- =K②①式减去②式并移项，利用 p0n<£得22211ikiinpnnpnpk kxxx++++===--åå2111()npkknp++==<-<+，因此，对任意 *NÎ，都有 0npx+<-。

12.（2013·福建高考理科·Ｔ21）设不等式 *)(2Nax的解集为 A,且 A21,3（Ⅰ）求 a的值 （Ⅱ）求函数 )(f的最小值【解析】 （Ⅰ）因为 32A，且 1，所以 32a，且 12a解得 12a，又因为 *aN，所以 a（Ⅱ）因为 |||(1)2|3.xx当且仅当(x+1)(x-2)≤0 即-1≤x≤2 时取到等号,所以 f(x)的最小值为 3.13.. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ24）相同设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（1） 13a（2）2cb【解题指南】(1)将 1ab两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.(2) 证22cb，也即证22+.abcac可分别证222+,,,abc然后相加即得.8【解析】 （1）由 222,,abcbac得2 .abc由题设得 21,即 2221cc所以 3ca，即 1.3ba当且仅当“ abc ”时等号成立2）因为222+,,,cb当且仅当“ 22ac”时等号成立.故 2bbabcc，即22+.abcac所以221a.。