小升初奥数百鸡问题解题指导及例题解析.docx

Word文档下载后（可任意编辑） 小升初奥数百鸡问题解题指导及例题解析 《张丘建算经》中有这样一题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，小鸡每3只值1文钱现在用100文钱买100只鸡，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只? 这是中国古代算术中的一类典型问题百鸡问题，现代数学用不定方程求解，在小学阶段，不少同学都是用拼凑的办法来解决这里介绍一种新方法，对小学生很适用 1、求倍数每只公鸡值5文钱，每只母鸡值3文钱，每只小鸡值1/3文钱以最便宜的小鸡为标准，公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的51/3=15倍和31/3=9倍 2、算超额假设100文钱全部买小鸡，可买1001/3=300只，超出实有三种鸡总数300-100=200只 3、组等式由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍，母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍不难理解，上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数，关系式为：公鸡只数14+母鸡只数8=200. 4、试结果一般来说，不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到我们也可以先把等式变形，观察起来更为容易方法是，在等式两边同时除以一个相同的数(0除外)，得到等式右边为整数，左边只有一项系数是分数的形式。

在上式两边同时除以8，得到：公鸡只数7/4+母鸡只数=25.显然，公鸡只数必须是4的倍数这样，从4起，依次用4的倍数去试算，可以得出三种情况：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;或公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只 下面再举一例来验证 大数学家欧拉曾提出过这样的问题：一头猪321(312)银币，一只山羊131(113)银币，一只绵羊21(1/2)银币有人用100个银币，买了100头牲畜问：猪、山羊、绵羊各多少? 猪的单价是绵羊的3121/2=7倍，山羊的单价是绵羊的1131/2=223倍，猪和山羊分别置换成绵羊，可多出自身只数的7-1=6倍和 223-1=123倍如果100个银币都买绵羊，可买1001/2=200只，超出实有牲畜头数200-100=100头，这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数，列式：猪6+山羊123=100.显然，山羊的只数应是3的倍数，可以推算得到：猪15头，山羊6只，绵羊79只;或猪10 头，山羊24只，绵羊66只;或猪5头，山羊42只，绵羊53只 上述解法，我们可以用代数知识来帮助分析。

在第一题里，设公鸡、母鸡、小鸡分别有X、Y、Z只，列出两个方程(方程组)X+Y+Z=100①5X+3Y+13Z=100②，将方程②乘以3，就是15X+9Y+Z=300，与方程①相减(消去Z)，得出14X+8Y=200，两边同时除以8，就是74X+Y=25.显然X只能是4的倍数，依次试算，就能得到与前面相同的答案来 这样一来，我们就会明白，所谓的新法，其实也并不新鲜，不过就是先用消元法把三元不定方程组演变成一个二元不定方程，然后有意识地将这个方程的某一个求知数的系数变成分数形式，便于观察这个未知数的值，其它未知数就不难推算了 第 3 页 共 3 页。