高二数学人教A版选修4-5学业分层测评13Word版含答案.pdf

学业分层测评（十三） (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题 1设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当 f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列 命题总成立的是() A若 f(3)9 成立，则当k1 时，均有 f(k)k2成立 B若 f(5)25 成立，则当k5 时，均有 f(k)k2成立 C若 f(7)49 成立，则当k8 时，均有 f(k)k2成立 D若 f(4)25 成立，则当k4 时，均有 f(k)k2成立 【解析】根据题中条件可知： 由 f(k)k2，必能推得f(k 1)(k1) 2，但反之不成立，因为 D 中 f(4)2542，故 可推得 k4 时， f(k)k2，故只有 D 正确 【答案】D 2用数学归纳法证明“对于任意x0 和正整数n，都 有 xnxn 2xn41 xn 4 1 xn 2 1 xnn1”时，需验证的 使命题成立的最小正整数值n0应为 () An01 Bn02 Cn01,2 D.以上答案均不正确 【解析】需验证： n01 时， x 1 x11 成立 【答案】A 3利用数学归纳法证明不等式1 1 2 1 3 1 2n1 m 24对大于 1 的一切自 然数 n 都成立，则自然数m 的最大值为 () A12 B13 C14 D.不存在 【解析】令 f(n) 1 n1 1 n2 1 2n， 易知 f(n)是单调递增的， f(n)的最小值为f(2) 1 3 1 4 7 12. 依题意 7 12 m 24，m<14.因此取 m13. 【答案】B 5用数学归纳法证明不等式 1 n1 1 n2 1 2n 13 14 (n2，nN)的过程中，由nk 递推到 nk1 时不等式 左边 () A增加了一项 1 2 k1 B增加了两项 1 2k1， 1 2k2 C增加了 B 中两项但减少了一项 1 k1 D以上各种情况均不对 【解析】nk 时，左边 1 k1 1 k2 1 2k，n k1 时，左边 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2， 增加了两项 1 2k1， 1 2k2，少了一项 1 k1. 【答案】C 二、填空题 6用数学归纳法证明“2n 1n2n2(nN )”时，第 一步的验证为 ________ 【解析】当 n1 时，21 11212，即 44 成立 【答案】21 11212 7证明 n2 n 1 1 2 1 3 1 2nn1(n1)，当 n2 时，要证明的式子为________ 【解析】当 n2 时，要证明的式子为 21 1 2 1 3 1 43. 【答案】21 1 2 1 3 1 43 8在 ABC 中，不等式 1 A 1 B 1 C 9 成立；在四边形 ABCD 中，不等式 1 A 1 B 1 C 1 D 16 2 成立；在五边形ABCDE 中， 不等式 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E 25 3 成立猜想在 n边形 A1A2An 中，类似成立的不等式为________ 【解析】由题中已知不等式可猜想： 1 A1 1 A2 1 A3 1 An n2 n2 (n3 且 nN) 【答案】 1 A1 1 A2 1 A3 1 An n2 n2 (n3 且 nN ) 三、解答题 9已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足a1 1 2，an 2SnSn10(n2) (1)判断 1 Sn 是否为等差数列，并证明你的结论； (2)证明： S2 1S 2 2 S 2 n 1 2 1 4n. 【解】(1)S1a1 1 2， 1 S12. 当 n2 时， anSnSn1，即 SnSn1 2SnSn1， 1 Sn 1 Sn12. 故 1 Sn 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列 (2)证明 ：当 n1 时，S 2 1 1 4 1 2 1 41，不等式成立 假设 nk(k1，且 kN)时，不等式成立，即S 2 1 S 2 2S 2 k 1 2 1 4k 成立， 则当n k 1 时， S2 1 S22 S2k S 2 k1 1 2 1 4k 1 4 k1 2 1 2 1 4 1 k 1 k1 2 1 2 1 4 k 2k1 k k1 2 <1 2 1 4 k2k k k1 2 1 2 1 4 k1 . 即当 nk1 时，不等式成立 由 可知对任意nN不等式成立 10已知函数f(x) 1 3x 3x，数列 an满足条件： a11， 且 an1f(an1)，证明： an2n1(nN*) 【证明】由 f(x) 1 3x 3x， 得 f(x)x21. 因此 an1f(an1)(an1)21an(an2)， (1)当 n1 时， a11211，不等式成立 (2)假设当 nk 时，不等式成立，即ak2k1， 当 nk1 时， ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1. 又 k1，22k2k 1，nk1 时，a k12k 11，即 不等式成立 根据 (1)和(2)知，对任意nN，an2n1 成立 能力提升 1对于正整数n，下列不等式不正确的是() A3n12nB0.9n10.1n C0.9n10.1nD.0.1 n10.9n 【解析】排除法，取n2，只有 C 不成立 【答案】C 2 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ 35 2n1 24 2n2 2n1”时， n 的最小取值n0应为 ________. 【导学号： 32750071】 【解析】n01 时不成立， n02 时， 3 2 3，再用数 学归纳法证明，故n02. 【答案】2 3设 a，b 均为正实数 (nN)，已知 M(ab)n，N annan 1b ， 则M，N的大小关系为 ____________________ 提示：利用贝努利不等式，令x b a . 【解析】当 n1 时， MabN， 当 n2 时， M(ab)2，Na22abM， 当 n3 时， M(ab)3，Na33a2bM， 归纳得 MN. 【答案】MN 4 已知 f(x) xnx n xnx n， 对于 nN， 试比较 f( 2)与 n21 n21 的大小并说明理由 【解】据题意 f(x) xnx n xnx n x2n1 x2n11 2 x 2n1， f(2)1 2 2n1. 又 n21 n211 2 n21，要比较 f( 2)与 n21 n21的大小，只 需比较 2n与 n2的大小即可， 当 n1 时， 212121， 当 n2 时， 22422， 当 n3 时， 238329， 当 n4 时， 241642， 当 n5 时， 25325225， 当 n6 时， 26646236. 故猜测当 n5(nN)时， 2nn2， 下面用数学归纳法加以证明 (1)当 n5 时，不等式显然成立 (2)假设 nk(k5 且 kN)时，不等式成立， 即 2kk2. 则当 nk1 时， 2k 12 2k2 k2k2k22k12k1 (k1)2(k1)22(k1)2， 即 nk1 时， 不等式也成立 由(1)(2)可知， 对一切 n5，nN，2nn2成立 综上所述，当n1 或 n5 时， f(2) n21 n21， 当 n2 或 n4 时， f(2) n21 n21， 当 n3 时， f(2) n21 n21. 。