四川省资阳市简阳市阳安中学高二数学下学期期中试卷文（含解析）.doc

四川省资阳市简阳市阳安中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷文（含解析）2015-2016学年四川省资阳市简阳市阳安中学高二（下）期中数学试卷（文科）　一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分．1．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）3．已知函数f（x）=ax2+3x﹣2在点（2，f（2））处的切线斜率为7，则实数a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．1 D．﹣24．下列命题是真命题的是（　　）A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为的点的轨迹是椭圆C．到定点F（﹣c，0）和定直线x=﹣的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）A．2 B．3 C．4 D．56．下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（　　）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞]8．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）A．3 B． C． D．9．P为双曲线﹣=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，，所成角为60，则△F1PF2的面积是（　　）A．9 B．3C．3 D．910．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=111．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（　　）A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a≥112．在椭圆内有一点P（1，﹣1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则此最小值是（　　）A． B． C．3 D．4　二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分．13．i是虚数单位，计算的结果为　　　　　　．14．若f′（x0）=2，则=　　　　　　．15．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|的值为　　　　　　．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　　　　　．　三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8，求该椭圆标准方程．18．已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在点P处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．19．求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程．20．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x﹣1．21．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，（1）求实数a的值（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．　2015-2016学年四川省资阳市简阳市阳安中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分．1．已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．　2．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．　3．已知函数f（x）=ax2+3x﹣2在点（2，f（2））处的切线斜率为7，则实数a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．1 D．﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，进一步求得f′（2），由f′（2）=7列式求解实数a的值．【解答】解：f（x）=ax2+3x﹣2，∴f′（x）=2ax+3．又函数f（x）=ax2+3x﹣2在点（2，f（2））处的切线斜率为7，∴f′（2）=4a+3=7，解得：a=1．故选：B．　4．下列命题是真命题的是（　　）A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为的点的轨迹是椭圆C．到定点F（﹣c，0）和定直线x=﹣的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线x=和定点F（c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆【考点】椭圆的定义．【分析】根据椭圆的两个定义，对选项中的命题进行判断即可．【解答】解：根据椭圆的定义是平面内到两定点的距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离），∴A错误；根据椭圆的第二定义是平面内到定点距离与到定直线的距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数），判断B、C错误；判断D正确．故选：D．　5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．　6．下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（　　）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，由A可得渐近线方程为y=2x，由B可得渐近线方程为y=x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．　7．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．　8．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）A．3 B． C． D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选D．　9．P为双曲线﹣=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，，所成角为60，则△F1PF2的面积是（　　）A．9 B．3C．3 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，根据双曲线的性质可知|F1F2|=10，|PF2|=m+8．在△F1PF2中使用余弦定理解出m，代入三角形的面积公式即可得出面积．【解答】解：a=4，c=5．∴|F1F2|=2c=10．不妨设P在双曲线左支上，由双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a=8．设|PF1|=m，则|PF2|=m+8．由余弦定理得cos∠F1PF2==，解得m=2﹣4，∴S==（2﹣4）（2+4）=9．故选：D．　10．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为： +=1故选D．　11．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（　　）A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a≥1【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】由f（x）≥g（x）转化为（x+1）ln（x+1）﹣ax≥0，令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对g（x）求导，利用函数的单调性和最值进行求解即可．【解答】解：∵f（x）≥g（x），∴ln（1+x）≥，即（x+1）ln（x+1）﹣ax≥0成立，令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜ea﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C　12．在椭圆内有一点P。