2025人教版高中数学精讲精练选择性必修二5.1 导数的概念及意义（精讲）（解析版）.docx

5.1 导数的概念及意义（精讲）考点一 平均速度【例1-1】（2023春·广东梅州·高二统考期中）函数在区间上的平均变化率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据平均变化率的定义可知，.所以函数在区间上的平均变化率为.故选：C【例1-2】（2023春·广东广州·高二校联考期中）已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】记，，由图易知，所以．故选：C．【一隅三反】1．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A2．（2023春·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C3．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考期中）函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】B【解析】由已知得，∴，∴，故选B.考点二 瞬时速度【例2-1】（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【解析】由，求导得：.当时，，解得（舍去）.故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.故选：C【例2-2】（2023春·广东肇庆·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（    ）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【答案】D【解析】因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.【一隅三反】1．（2022春·广东佛山·高二罗定邦中学校考期中）一质点的运动方程为（路程S的单位：；时间t的单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ）A．9 B．12 C．3 D．6【答案】D【解析】因为，所以，所以当时，，所以该质点在末的瞬时速度为6m/s故选：D2．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）质点运动方程，那么当质点在 时的速度为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为，所以 时的速度，故选：A3．（2023·广东广州 ）曲线在点处的瞬时变化率为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题设，有.故选：B4．（2023·广东茂名 ）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由导数的物理意义得，将代入得，解得.故选：C.考点三 在某点处的导数【例3】（2023春·广东汕尾·高二校考阶段练习）若可导函数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由导数的定义知：.故选：C.【一隅三反】1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】因为，所以，故故选：B2．（2023·广东珠海· ）已知函数的导函数为，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，故选：D.3．（2023·广东 ）设函数在处可导，且，则等于（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由导数的定义可得，因为，所以，故选：A.考点四 求曲线的切线的斜率或倾斜角【例4-1】（2023·广东肇庆）设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为A．2 B．-1 C．1 D．-2【答案】B【解析】由根据导数的定义可得:.在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率 故选：B【例4-2】（2023·广东广州 ）曲线在点处切线为，则 等于（    ）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】由题意可得而故选：C.【例4-3】（2023春·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为.故选：C【一隅三反】1．（2023·广东韶关·高二校考阶段练习）设是可导函数，且，则A．2 B． C． D．【答案】B【解析】本题正确选项：2．（2023·辽宁大连 ）已知函数，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，则，所以，解得.故选：B.3．（2022·河南）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（    ）A．30° B．45°C．135° D．165°【答案】B【解析】，，所以在点处切线的斜率为，故切线的倾斜角为45°.故选：B考点五 切线方程【例5-1】（2023春·高二课时练习）（1）求曲线在点处的切线方程．（2）求函数在点处的切线方程．【答案】（1） ；（2） ．【解析】（1），故所求切线的斜率为2，切线方程为，即．（2）因为，故所求切线的斜率为6，切线方程为，即．【例5-2】（2022·高二课时练习）求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程.【答案】3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0【解析】设所求切线的切点坐标为，则.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，所以曲线在切点处的切线的斜率为，则所求切线方程为.因为切线过点(－1，－1)，所以，即，解得或，即所求的切线有两条，方程分别是y＝3x＋2和，即3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0.【一隅三反】1．（2022·高二课时练习），在处切线方程为（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，，令，∴＝，解，∴在处切线方程为，即．故选：B．2．（2023春·高二课时练习）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0【解析】设所求切线的切点坐标为，则＝＝2x0＋Δx.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0，则所求切线方程为y－x＝2x0(x－x0).因为切线过点P(3， 5)，所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或5，即所求的切线有两条，方程分别是y＝2x－1和y＝10x－25，即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.3．（2023·高二课时练习）已知曲线上的两点和，求：(1)割线AB的斜率；(2)过点A的切线的斜率；(3)点A处的切线的方程．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）由已知可得，.（2）令，，根据导数的定义可得，.①当切点为点时，根据导数的几何意义知；②当切点不是点时.设切点坐标为，，则，又，所以有，解得，因为，所以此时无解.综上所述，过点A的切线的斜率.（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率，代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为.考点六 利用图象理解导数的几何意义【例6】（2023广东）函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，即，，，又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，故.故选：A.【一隅三反】1．（2023·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则故选：D2．（2023秋·高二课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又即故选：D.3．（2023·高二课时练习）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】A【解析】因为切线方程为：，故，且，故故选：A4．（2023秋·高二课时练习）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可知，且；故选：A。